Sul settore circolare $AOB$ di centro $O$, raggio $r$ e di ampiezza $pi/2$, considera i punti $P$ e $Q$ tali che $A\hat OQ = 2A\hat OP$. Sia $T$ il punto di intersezione tra la retta $OP$ e la retta per $Q$ parallela a $OA$. Determina il valore massimo di $2TP + AQ$.
Siccome si parla di un settore circolare, i punti $P$ e $Q$ li posso prendere anche all'interno di esso, giusto? Io comunque ho preso $P$ all'interno e $Q$ sulla circonferenza per agevolarmi con i calcoli, ma non so se andassero presi entrambi sulla circonferenza.
Comunque, chiamo $A\hat OQ = beta$ e $A\hat OP = alpha$. Si ha che $AQ = 2Rsenalpha$.
I triangoli $OAP$ e $POQ$ sono congruenti, in particolare $AP=PQ$: $P$ è il punto medio di quella corda e quindi il raggio è perpendicolare a $AQ$. Si tratta allora di triangoli rettangoli.
Inoltre il triangolo $POQ$ è congruente a $PQT$ e quindi $AOP$ è congruente a $PQT$.
Dalla figura si deduce che $TP = R * cosalpha$ e $AQ = 2R senalpha$, quindi devo massimizzare $2Rsenalpha + 2R cosalpha = 2R(senalpha + cosalpha)$.
$senalpha + cosalpha$ è massima in $alpha = pi/4$, e quindi il valore massimo sarebbe $2R * (sqrt(2)/2 + 1/2)$, però la soluzione è sbagliata.
Probabilmente avrei dovuto prendere $P$ sulla circonferenza e fare un altro ragionamento, ma adesso sarebbe utile avere un input, giusto per capire come procedere.