Codominio vs Immagine

come mai il mio libro di matematica di quarta superiore(liceo scientifico)mi indica che il sottoinsieme dell'insieme di arrivo della funzione formato dalle immagini degli elementi dell'insieme di partenza è detto codominio.
per esempio mi da come codominio della funzione seno $[-1;1]$ ,quando dovrebbe essere R poichè la funzione seno è una funzione di variabile reale $RrarrR$. come mai?

Per quanto riguarda l'indicare il sottoinsieme dell'insieme d'arrivo della funzione contenete le immagini dell'insieme di partenza con il termine "codominio" questa è una semplice scelta di nomenclatura. A mio parere infelice, ma tant'è.

Per quanto riguarda la scelta dell'intervallo \(\left[-1;1\right]\) come insieme d'arrivo questa è una sensata scelta pragmatica. Il seno assume valori in quell'intervallo e solo in quell'intervallo: che utilità potrebbe avere scegliere come insieme d'arrivo tutto \(\mathbb{R}\)? Nessuna! Certamente si potrebbe fare, nulla cambierebbe se non il fatto che pur restringendo il dominio del seno all'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) la funzione non risulterebbe poi invertibile e questo sarebbe un problema. Dopo di che, fermo restando queste considerazioni, se scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "codominio" e l'insieme d'arrivo continuiamo a chiamarlo "insieme d'arrivo", allora diremo che il codominio coincide con l'insieme d'arrivo. Se invece scegliamo di chiamare l'insieme d'arrivo con il termine "codominio" e scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "insieme immagine" (o "immagine della funzione"), diremo allora che l'immagine della funzione coincide col codominio. Ma in qualunque modo lo diciamo, l'importante è che, per il seno, si possa dirlo, altrimenti ci si complica la vita per invertirlo.

Altra piccola osservazione,che mi pare valga la pena rimarcare:
se non introducessimo prima il concetto di codominio e poi quello d'immagine,
quest'ultimo insieme sarebbe un pò "equivocabile" perchè non sarebbe chiaro l'insieme ambiente
(o universo che dir si voglia)cui esso è riferito.
Saluti dal web.