insieme delle parti dell'insieme vuoto

[vanpic]

Ho trovato questo esercizio sugli insiemi:
Trovare la cardinalità dell'insieme delle parti,delle parti,delle parti dell'insieme vuoto.
Ossia trovare:`|P(P(P(emptyset)))|`

Io ho pensato di fare così:

`P(emptyset)={emptyset}`
`P(P(emptyset))={emptyset;{emptyset}}`
`P(P(P(emptyset)))={emptyset;emptyset;{emptyset};{emptyset;{emptyset}}}`

Visto che l'elemento `emptyset`si ripete
`P(P(P(emptyset)))={emptyset;{emptyset};{emptyset;{emptyset}}}`

Quindi `|P(P(P(emptyset)))|=3`

è corretto secondo voi?
Grazie.

[leena]

Correttissimo, non so se sai ma è così che si definiscono i numeri ordinali (i numeri naturali per intenderci) nella teoria degli insiemi!

[vanpic]

Grazie leena
Non conosco questo modo di definire i numeri naturali...andrò a cercarlo.

[gugo82]

Un attimo... L'insieme delle parti di un insieme con $n$ elementi ha esattamente $2^n$ elementi.
Ora, se $P(P(\emptyset))$ ha due elementi, $P(P(P(\emptyset)))$ dovrebbe avere $2^2=4$ elementi, no?

Visto che $P(P(\emptyset))=\{ \emptyset ,\{ \emptyset \} \}$, deve essere:

$P(P(P(\emptyset)))=\{ \emptyset, \{ \emptyset\}, \{ \{ \emptyset \}\}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \}\} \}$

sullo stesso modello di:

$P(\{ a, b\})=\{ \emptyset, \{ a\}, \{ b\}, \{ a,b \}\}$

con $a=\emptyset$ e $b=\{ \emptyset\}$.

[leena]

Giusto giusto mi ero persa il $ \{ \{ \emptyset \}\}$
Mi sembrava ci fosse..

[vanpic]

...ok...quindi

`|P(P(P(emptyset)))|=4`

[leena]

Si perchè ogni volta devi aggiungere il singleton di ogni elemento dell'insieme di partenza, tu partivi da
`P(P(emptyset))={emptyset;{emptyset}}`
e allora devi inserire sia il singleton del primo che del secondo.

Scusa se prima non me ne ero accorta!