Differenza tra insieme ordinato e n-upla

da **tano_91** » 24/12/2011, 17:53

Ciao a tutti, ho il seguente dubbio.

Qual è la differenza tra una n-upla ed un insieme ordinato (supponiamolo finito per semplicità)?

n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.

Ma com'è possibile questo se la n-upla è un insieme? Un insieme non può avere elementi uguali al suo interno; come si può quindi formalizzare il concetto di n-upla a partire da quello di insieme ordinato?

C'entra qualcosa il concetto di "relazione d'ordine" oppure devo per forza rifarmi ad una successione che mi dia una numerazione (e quindi un ordinamento) degli elementi?
Ad esempio, io definirei un insieme ordinato nel seguente modo:

$ \displaystyle I = \{i : \{1, \dots, n\} \rightarrow I_0\} $

Tra l'altro trovo già difficoltà a fare così, perché ho bisogno di più di un insieme per definire l'insieme $ \displaystyle I $ (l'insieme $ \displaystyle I_0 $ da cui pescare gli elementi).

Per mantenere la coerenza nella definizione di prima (l'insieme è un oggetto che non ha elementi ripetuti) dovrei anche imporre che $ \displaystyle i $ sia iniettiva, ma se non la pongo tale, pur ottenendo l'effetto desiderato (avere elementi ripetuti), andrei contro la definizione di "insieme"...

Chi mi sa aiutare?

da **ViciousGoblin** » 24/12/2011, 20:50

Il problema che poni è sottile (e quindi il fatto che tu te lo ponga depone a tuo merito!).

Di sicuro non si passa per i numeri per definire le coppie ordinate e nemmeno c'entra l'ordinamento (che casomai è introdotto
avendo già la nozione di coppia ordinata). Non so bene quale sia il modo attualmente seguito dai teorici degli insiemi per farlo,quello che ricordo di avere visto (molti anni fa ...) è $(a,b):={{a},{a,b}}$.
Fatte le coppie si possono fare le terne, le quaterne e così via.

Per parlare di $n$-uple, con $n$ generico credo invece che ci vogliano gli interi.

da **perplesso** » 24/12/2011, 22:04

Provo a dirti quel poco che mi sembra di ricordare dall'insiemistica...

Come ha detto Vicious, la coppia ordinata di prima coordinata $ a $ e seconda coordinata $ b $ ovvero $ (a,b) $ è l'insieme $ {{a},{a,b}} $ . La tripla ordinata $ (a,b,c) $ è una coppia ordinata che ha come prima coordinata la coppia $ (a,b) $ e come seconda coordinata $ c $ ovvero $ ((a,b),c) $ e così via ricorsivamente si definiscono la 4-upla $ (((a,b),c),d) $, la 5-upla etc etc ...

Un insieme ordinato $ (S,<=) $ è una coppia ordinata che ha come prima coordinata un insieme non vuoto e come seconda coordinata una relazione d'ordine definita in $ S $ (cioè una relazione binaria in $ S $ che sia riflessiva, asimmetrica e transitiva) e che di solito si indica col simbolo $ <= $ ( ma non è obbligatorio )

da **tano_91** » 24/12/2011, 22:27

Chiaro. E per quanto riguarda la questione degli "elementi ripetuti"?

da **ViciousGoblin** » 25/12/2011, 02:45

Quale sarebbe la "questione degli elementi ripetuti" ?
Nota peraltro che $(a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}$.

da **Martino** » 25/12/2011, 12:22

Segnalo questo e più in generale questo.

da **tano_91** » 25/12/2011, 23:22

@ViciousGoblin: intendo questo

tano_91 ha scritto:n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.

Questa definizione è corretta? Se lo fosse, allora avrei bisogno di conoscere come è possibile che un insieme (che notoriamente non ha elementi ripetuti al suo interno) ne possa avere.

da **ViciousGoblin** » 26/12/2011, 02:15

tano_91 ha scritto:@ViciousGoblin: intendo questo

tano_91 ha scritto:n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.

Questa definizione è corretta? Se lo fosse, allora avrei bisogno di conoscere come è possibile che un insieme (che notoriamente non ha elementi ripetuti al suo interno) ne possa avere.

Questa definizione non è corretta, anche se probabilmente non vuole essere veramente una definizione. Si può affermare
sicuramente che un insieme NON è ordinato e quindi la coppia ordinata $(a,b)$ (prendo $n=2$ per semplicità)
NON è l'insieme ${a,b}$. Probabilmente la locuzione sopra vuole richiamare un'idea intuitiva di "insieme ordinato"
distinta da quella di "insieme non ordinato" che è quella usuale di insieme (idea primitiva quest'ultima di cui non si danno definizioni).
Una coppia ordinata è qualcosa di cui si può "estrarre" un primo elemento e un secondo elemento, eventualmente
eguali - probabilmente, per quello che serve a te (cosa studi ?) ti puoi accontentare dell'idea intuitiva
(come hai già dovuto fare per la nozione di insieme), anche se a livello teorico, come detto nei messaggi precedenti, si possono fornire modi rigorosi di introdurre la coppia a partire dalla nozione di insieme.

da **tano_91** » 26/12/2011, 14:52

Ho capito come si fa a introdurre la nozione di insieme ordinato a partire da quello di insieme.
Quello che mi interessa ora è capire come sia possibile che la coppia ordinata possa avere elementi uguali nonostante sia un insieme (e un insieme non ha elementi uguali!).

da **perplesso** » 26/12/2011, 16:28

In realtà il problema viene aggirato usando le parentesi :-D

Come ti hanno fatto notare l'insieme $ (a,a)={{a}} $ ha un solo elemento, ovvero $ {a} $, però tu capisci benissimo che si vuole intendere $ (a,a) $ perchè c'è la doppia parentesi graffa, cioè $ {{a}} $ è un "singoletto di singoletto" . Se rifletti bene su questa definizione $ (a,b)={{a}, {a,b}} $ capirai che il singoletto $ {a} $ significa "fra questi due oggetti $ a $ è il primo", è un artificio per mettere ordine dove l'ordine non c'è, meglio di così non mi so spiegare :lol: