$sqrt(1-8x^2)>=1+2x$

[ramarro]

Buonasera, ora sto facendo questo esercizio, il cui testo è riportato nel titolo....devo sempre risolvere la disequazione e fare il grafico. Io ho fatto cosi:
Realtà

$x^2>=1/8$
$[-1/(2sqrt2);1/(2sqrt2)]$

Allora il primo membro è un'ellisse .
Calcolo i vertici dell'ellisse
$y=sqrt(1-8x^2)$
$y^2=1-8x^2$
$8x^2+y^2=1$
$1/a^2=8$
$1/b^2=(+/-)1$
che diventano $a^2=((+/-)1)/(2sqrt2)$...$b^2=(+/-)1$

[ramarro]

passo al 2 Membro
Allora partendo dal presupposto che somiglia alla $f(x)=x$
che è una retta....dico $f(x)=2x$ sarà un po piu schiacciata è passerà in $(0,0)$
poi sommo $+1$ quindi sarà traslata di $1$ in su....poi
Trovo i punti di intersezione
$1-8x^2>=(1+2x)^2$
$1-12x-4x^2-1>=0$
$-4x^2-12x>=0$
$4x^2+12x<=0$
$4x(x+3)<=0$
$[-3;0]$
gli zeri riportati sopra sono i nostri punti di intersezione.
Ecco ora devo disegnare il grafico ma non credo di averlo fatto giusto.....potete per favore comunicarmi dove ho sbagliato???
Grz

Cordialmente,

[volaff]

Per rappresentare la retta $ y = 2x + 1 $ basta assegnare un valore alla x e vedere quanto vale la relativa y.
Poichè per due punti passa una ed una sola retta, puoi agevolemente disegnare tale retta ponendo, ad esempio:

$ x =0 : y = 1 $
$ x= - 1 : y = -1 $

Fatto.

[ramarro]

Scusa volaff....stavo modificando un pezzo ed evidentemente non ti ho dato il modo di leggere tutta la domanda.....intendevo disegnare questo grafico, e sottoporvelo in modo che voi possiate correggerlo, quando avrete tempo ed inoltre se potete dirmi questa cosa...gli zeri che ricavo dal calcolo delle interzezioni $[-3;0]$, per quanto concerne il $-3$ non è considerato perchè cade fuori dalla realta?
Grazie

[volaff]

Tutti i punti che sono al di fuori della realtà non li devi considerare perchè non hanno senso.
Se hai fatto il grafico correttamente la parte di grafico da considerare dovrebbe essere la regione di piano compresa tra ellisse e retta dove "l'ellisse sta sopra la retta" compresi i punti di intersezione perchè c'è il $ >=$.

[anto_zoolander]

Ciao!

$sqrt(1-8x^2)geq2x+1$ indica in pratica dove l'ellisse è maggiore della retta.

Poniamo $y=sqrt(1-8x^2)$ facendo notare che $-sqrt(2)/4leqxleqsqrt(2)/4$ è il dominio o campo di esistenza e portando l'equazione in forma normale(o almeno nella forma canonica dell'ellisse) otteniamo:

$(y-0)^2/1+(x-0)^2/(1/8)=1$ l'ellisse in questione è centrata in $(0,0)$ e ha l'asse maggiore rivolto sulle ordinate, poiché $1>1/8$

difatti l'asse maggiore sarà di lunghezza $2$ e l'asse minore di lunghezza $1/sqrt(2)$ i vertici sono dati dalle intersezioni dell'ellisse con i suoi assi di simmetria, che in questo caso risultano essere l'asse $x$ e quello $y$

\begin{equation}
\begin{cases}
x=0\\y^2+8x^2=1
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
y=0\\y^2+8x^2=1
\end{cases}
\end{equation}

i punti in questione sono $x=pmsqrt(2)/4$ e $y=pm1$

per la retta non facciamo alcuno studio particolare. Ora formiamo i sistemi per la disequazione:

\begin{equation}
\begin{cases}
1-8x^2\geq0\\1+2x\geq0\\1+8x^2\geq(1+2x)^2
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
1-8x^2\geq0\\1+2x<0
\end{cases}
\end{equation}

il primo sistema come soluzioni ammette l'intervallo $[-1/3,0]$ il secondo, non ammette alcuna soluzione.

quindi $x in[-1/3,0] <=> sqrt(1-8x^2)geq2x+1$

Devi pensarla un po' in questo modo:
quali condizioni devo soddisfare affinché le due figure geometriche possano intersecarsi?

la condizione necessaria affinché una radice di indice pari abbia senso nei numeri reali è che il radicando sia positivo o nullo.

Da questo nascono i due sistemi:

il primo
Impone che abbia senso valutare la disequazione.
Infatti se sono entrambe positive allora è possibile che ci siano delle intersezioni.

il secondo
Ci dice semplicemente che se il secondo membro è negativo, allora è inutile cercare intersezioni, poiché il primo è sempre positivo e quindi anche quì si impone il radicando positivo. Questo secondo sistema ci dice che se una figura è negativa in uno stesso intervallo in cui la radice esiste, allora sicuramente la curva sta sopra. In questo caso non ci dà soluzioni perché la retta è positiva su tutto il dominio della semi-ellisse

Tutte queste considerazioni valgono per le disequazioni irrazionali del tipo

$sqrt(p(x))geqq(x)$ oppure $sqrt(p(x))>q(x)$

In fine,

il tuo errore sta' quì

passo al 2 Membro
Allora partendo dal presupposto che somiglia alla $f(x)=x$...

...$1-8x^2>=(1+2x)^2$

errore
$1-12x-4x^2-1>=0$

correzione
$1-8x^2geq1+4x+4x^2$
$-12x^2-4xgeq0$
$4(3x^2+x)leq0$
$x(3x+1)leq0$
$-1/3leqxleq0$
fine

...
...potete per favore comunicarmi dove ho sbagliato???
Grz

Cordialmente

EDIT
correzione errore: 'radice di indice dispari' $->$ 'radice di indice pari'

[axpgn]

Il tuo invece qui ...

... la condizione necessaria affinché una radice di indice dispari abbia senso nei numeri reali è che il radicando sia positivo o nullo. ...

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

giuro che è un errore di distrazione grazie mille per avermelo fatto notare, mi immolo(e edito obv)

[axpgn]

Ti credo, fai post più lunghi di quelli di Erasmus ...

[ramarro]

Ahahah....che belle argomentazioni che vengono fuori, allora mi serve un po di tempoo per sistemare gli appunti, a ogni modo volevo chiedere per adesso 2 cose:
a)il risultato che hai messo $-1/3$, intendi dire $1/(2sqrt2)$ solo che hai arrotondato giusto?
b)Mi manca oltre a questi esercizi un solo argomento per finire il libro che arriva fino alla 3°liceo, (quindi adesso è come se fossi uno studente di 3° anche se sono un po piu consumato dall'età ) vorrei chiedere...dato che devo fare gli argomenti degli altri 2 anni, qualcuno di voi sa se c'è un libro freeware che tratta gli argomenti del liceo al quarto anno, da scaricare per studiare?
Grazie
Cordialmente,