Campi vettoriali irrotazionali e potenziale.

[Domics]

Salve a tutti, da qualche giorno ho iniziato a studiare fisica 2 e già mi sono imbattuto molto più sui campi vettoriali di quanto abbia fatto in fisica 1. In particolare sono molto incuriosito dall’aspetto matematico. Prendo ad esempio per capire meglio il campo elettrico generato da una carica pntiforme che corrisponde a:

$\vec E=1/(4\pi\xi) q/r^2$. (per il versore n)

Ora supponendo che la carica non vari nel tempo, l‘unica variabile del campo $\vec E$ è la distanza r.
Se volessi scrivere la funzione essendo che il modulo del campo non varia a secoda del punto ma solo a seconda della distanza posso scrivere che $f(r)=|E|$

Ditemi se sbaglio. Questa relazione semplificativa vale solo per una carica puntoforme costante.
Ora,ad analisi 2 ho studiato la funzione potenziale di un campo vettoriale definito come $\vec F=(Fx,Fy,Fz)$ dove le componenti erano funzioni corrispondevano alla derivata parziale della funzione potenziale U rispetto ad uno dei tre assi.
Verificando prima la chiusura del campo e poi integrando una delle tre componenti rispetto alla propria cordinata mi ricavavo la funzione potenziale + una certa funzione in questo caso altre due rispetto agli altri due termini che poi andavo a derivare e ad eguagliare.

Il mio problema sorge quando si tratta di applicare ció ad un campo $\vec E=f(r)$ che essendo funzione solo della distanza e quindi per definizione dipende solo ed esclusivamente dagli estremi deve ammettere per definizione il potenziale. Ed infatti ammette potenziale, ma come calcolarlo? su interent ho trovato che basta integrare il campo rispetto a dr, ma questa soluzione non mi piace molto dal punto di vista matematico, anche perché considerando una funzione di sola variabile r tutto ció che vado a fare sulle derivate parziali va a farsi benedire.

A questo punto mi chiedo cosa succede se pongo $r^2=x^2+y^2+z^2$ le componenti del campo sarebbero in realtà le stesse? come si procede ?

[Domics]

Riguardo i campi irrotazionali ho capito che il $rot(F)=0$ ma non ho ben capito come integrare questo argomento con il teorema di cauchy, ma forse piú avanti posteró una domanda piú specifica.

[Domics]

Pensandoci essendo il campo $\vec E=f(r)$ la funzione potenziale sarà per forza l’integrale rispetto ad r + una costante, poichè non ho nulla da eguagliare. Questo vuol dire che qualsiasi campo definito in un aperto che sia funzione di una sola variabile é sempre conservativo ?

[phaerrax]

nel tempo, l‘unica variabile del campo $\vec E$ è la distanza r.
Se volessi scrivere la funzione essendo che il modulo del campo non varia a seconda del punto ma solo a seconda della distanza posso scrivere che $f(r)=|E|$

Non ho capito bene questa frase.
\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\drp}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert}
\]

Comunque, parto dall'ultimo post che hai scritto: quello che hai detto non è vero. Guarda per esempio al campo $\vec F(x,y,z)=(y,0,0)$, che è funzione di una sola variabile (se ho capito bene cosa intendi).
Non è nemmeno chiuso, poiché
\[
\drp{F_1}{y}=1\ne 0=\drp{F_2}{x}.
\]

Non farti ingannare dal fatto che nel campo elettrico, per riprendere ciò che hai detto, è funzione soltanto della distanza $r$ dall'origine: in realtà $r$ stessa dipende da $(x,y,z)$, e nota che se vari una delle tre coordinate allora $r$, e quindi \(\vec E(r)\), cambia.
Il campo elettrico, nonostante appaia "solo" $r$ nella formula, è comunque una funzione delle tre variabili.
Usando le coordinate curvilinee come quelle sferiche bisogna avere più cura, perché la formula per calcolare il gradiente di una funzione (passando dal potenziale al campo vettoriale) è diversa da quella "standard" con le tre derivate parziali e basta che hai in coordinate cartesiane.

Infine, sai che se l'integrale di un campo vettoriale lungo una curva chiusa (credo per insiemi aperti e connessi, ma potrei ricordare male) è nullo per qualsiasi curva allora il campo è conservativo: qui hai che, presa una curva qualsiasi che congiunge \(\vec x_1\) con \(\vec x_2\) hai che l'integrale del campo elettrico \(\vec E\) dipende solo dalla distanza, infatti detta \(\gamma\) tale curva
\[
\int_\gamma\vec E(\vec x)\cdot\dd\vec x=\int_\gamma E(\vec x)\hat{\vec r}\cdot\dd\vec x
\]
dove $E$ è il modulo del campo elettrico e \(\hat{\vec r}\) il versore radiale, in modo che \(\vec E=E\hat{\vec r}\).
Poiché \(\hat{\vec r}\cdot\dd\vec x=\dd r\) (è la proiezione di \(\dd\vec x\) in direzione radiale, che è \(\dd r\)), e \(\vec E\) dipende da $r$ soltanto, hai che l'integrale precedente diventa
\[
\int_{r_1}^{r_2} E(r)\,\dd r=\frac1{4\pi\epsilon_0}\int_{r_1}^{r_2}\frac1{r^2}\,\dd r=\frac1{4\pi\epsilon_0}\biggl(\frac1{r_2}-\frac1{r_1}\biggr)
\]
con \(r_1=\norm{\vec x_1}\) e \(r_2=\norm{\vec x_2}\).
L'integrale dipende solo dalla distanza dei due estremi dal centro, quindi ovviamente è nullo per una curva chiusa qualsiasi e il campo è conservativo.
Per il potenziale, è utile riprendere la formula del gradiente in coordinate sferiche di cui parlavo, per cui data $\Phi(r,\theta,\varphi)$ si ha
\[
\nabla\Phi(r,\theta,\varphi)=\drp{\Phi}{r}\hat{\vec r}+\frac1{r}\drp{\Phi}{\theta}\hat{\boldsymbol\theta}+\frac1{r\sin\theta}\drp{\Phi}{\varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}
\]
e quindi nel caso di simmetria sferica come il campo elettrico del tuo post risulta ($\Phi=\Phi(r)$)
\[
\nabla\Phi(r)=\drp{\Phi}{r}\hat{\vec r}=\vec E(r)
\]
da cui puoi facilmente intuire la forma di $\Phi$, dato l'integrale risolto sopra.

[Domics]

Per il potenziale, è utile riprendere la formula del gradiente in coordinate sferiche di cui parlavo, per cui data $\Phi(r,\theta,\varphi)$ si ha
\[
\nabla\Phi(r,\theta,\varphi)=\drp{\Phi}{r}\hat{\vec r}+\frac1{r}\drp{\Phi}{\theta}\hat{\boldsymbol\theta}+\frac1{r\sin\theta}\drp{\Phi}{\varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}
\]
e quindi nel caso di simmetria sferica come il campo elettrico del tuo post risulta ($\Phi=\Phi(r)$)
\[
\nabla\Phi(r)=\drp{\Phi}{r}\hat{\vec r}=\vec E(r)
\]
da cui puoi facilmente intuire la forma di $\Phi$, dato l'integrale risolto sopra.

Non ho capito questa formula.
Comunque sia, si so che r è funzione sia delle (x,y,z) o in cordinate sferiche di $\(theta,gamma,r)$.
Sono arrivato alla conclusione (credo) che il campo elettrico dovrei poterlo scrivere come:
$\vec E=((1/(4\pi*epsilon))*q/x^2,(1/(4\pi*epsilon))*q/y^2,(1/(4\pi*epsilon))*q/z^2)$

Dimmi se sbaglio. Pero quando vado a calcolarmi il potenziale mi trovo che la funzione potenziale è:
$U=-(1/4\pi*epsilon)*(1/x+1/y+1/z)$ non ho ben chiaro dove sbaglio dato che alla fine sotto passando alle coordinate sferiche dovrebbe uscirmi solo r..
Grazie della risposta

[phaerrax]

La formula che ho scritto è l'espressione del gradiente di una funzione espressa in coordinate sferiche.
Solitamente si trova in tutti i libri di elettromagnetismo, è utile per calcolare gli operatori differenziali senza passare ogni volta per le coordinate cartesiane.

\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert}
\]
E no, il campo elettrico è
\[
\vec E(\vec x)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\hat{\vec r}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec x}{\norm{\vec x}^3}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\biggl[\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\biggr]
\]
mentre il potenziale, che trovi integrando \(\vec E\) (scritto così, puoi farlo in coordinate cartesiane), è
\[
\Phi(\vec x)=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
\]

[Domics]

\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert}
\]
E no, il campo elettrico è
\[
\vec E(\vec x)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\hat{\vec r}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec x}{\norm{\vec x}^3}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\biggl[\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\biggr]
\]
mentre il potenziale, che trovi integrando \(\vec E\) (scritto così, puoi farlo in coordinate cartesiane), è
\[
\Phi(\vec x)=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
\]

Ah ok ora mi è più chiaro.
Non capisco perché $\hat{\r}= x/||x||^3$ cioè come ottengo le coordinate cartesiane del versore?
cioè la normale di r è $sqrt(x^2+y^2+z^2)$ questo considerando $\vec r=(x,y,z)$ giusto? pero perché la normale è elevato alla terza? perché moltiplico $r^2$ per la normale se ho capito bene?

[phaerrax]

\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert}
\]
\(\hat{\vec r}\) è il versore radiale "centrato nell'origine", di norma 1, che indica la direzione dalla carica al punto in cui si valuta il campo; anche \(\vec x\), il vettore della posizione (io sono solito indicarlo così, vedo che tu usi invece \(\vec r\), in ogni caso \(\vec x=\vec r=(x,y,z)\)), punta ovviamente dalla carica al punto in cui si valuta il campo, quindi normalizzandolo si ottiene \(\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}=\hat{\vec r}\).
Allo stesso modo \(r=\norm{\vec x}\), quindi
\[
\frac{\hat{\vec r}}{r^2}=\frac{\vec x}{\norm{\vec x}^3}.
\]

[Domics]

\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert}
\]
\(\frac{\vec x}{|{\vec x}|}=\hat{\vec r}\).
Allo stesso modo \(r=|{\vec x}|\), quindi
\[
\frac{\hat{\vec r}}{r^2}=\frac{\vec x}{|{\vec x}^3|}.
\]

Ok grazie, lo scrivo così se dovesse servire a qualcun altro perché mi sa che il comando \norm me lo faceva visualizzare