dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda kmn9 » 18/03/2016, 00:20

Come faccio dividere la parte reale dalla parte immaginaria di questa funzione?

$f(z) =(1+iz)/(1-iz)$

In particolare mi serve per affermarne l'olomorfia secondo Cauchy Riemann
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Re: dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda phaerrax » 18/03/2016, 11:03

Ricorda che il rapporto tra due numeri complessi $a$ e $b$ è equivalente a
\[
\frac{a\overline{b}}{\lvert b\rvert^2}.
\]
Il denominatore così è un numero reale, e puoi separare più comodamente la parte reale e immaginaria del prodotto che è al numeratore.
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Re: dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda kmn9 » 19/03/2016, 12:40

phaerrax ha scritto:Ricorda che il rapporto tra due numeri complessi $a$ e $b$ è equivalente a
\[
\frac{a\overline{b}}{\lvert b\rvert^2}.
\]
Il denominatore così è un numero reale, e puoi separare più comodamente la parte reale e immaginaria del prodotto che è al numeratore.


Grazie phaerrax ma anche applicando mi esce ancora un numero immaginario:

$(1+iz) / (1-iz) * (1+iz)/(1+iz) = (1+iz+iz-z^2) / (1 + z^2) = (2iz-z^2) / (1+z^2)$

e adesso al denominatore mi ritrovo $1 +$ il quadrato di un numero complesso.
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Re: dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda ELLIPS » 19/03/2016, 14:30

scusate, mi intrometto, kmn9 in realtà dovresti moltiplicare z per il suo coniugato. io ho provato a risolvere l'esercizio ponendo z=x+iy e a moltiplicare numeratore e denominatore per (x-iy-1). ora non so se calcoli e procedimento sono corretti, prova magari a rifarlo e vedi, a me la parte immaginaria va via al denominatore e quindi posso separare parte reale e parte immaginaria.
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Re: dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda kmn9 » 19/03/2016, 14:53

se sviluppo in forma cartesiana mi viene:

$(1+iz)/(1-iz) = (1+ix-y) / (1-ix-y)$

moltiplicare per $x-iy-1$ mi complica la vita nel senso che al denominatore non semplifico niente
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Re: dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda ELLIPS » 19/03/2016, 15:08

ok avevo copiato il testo originale(che non aveva la i). in ogni caso non cambia molto, basta moltiplicare per (ix+y+1), comunque mi sembra che ci sia un segna sbagliato al denominatore nell'ultima equazione che hai messo. ok riflettendoci se non ho sbagliato nulla in pratica stai moltiplicando sopra e sotto per (i*coniug.z+1). svolgendo i calcoli il denominatore dovrebbe venire |z|^2+2Im(z)+1
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Re: dividere parte reale da parte immaginaria

Messaggioda kmn9 » 19/03/2016, 16:11

Avevi ragione, effettivamente il testo originale è diverso da quello che ho scritto nel post successivo, mi sono confuso con due esercizi simili.

Comunque verificando mi trovo con te, bastava moltiplicare per il denominatore con z coniugato.

quindi nel caso di:

$(1+iz)/(1-iz) = (1+ix-y) / (1-ix+y)$ bisogna moltiplicare per $1+ix+y$

nel caso di:

$(1+z)/(1-z) = (1+x+iy) / (1-x-iy)$ bisogna moltiplicare per $1-x+iy$

giusto?
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