25/04/2024, 22:09
ripositore ha scritto:Quindi la domanda del prof era un po' mal posta (credo volesse semplificarla a non matematici ma mi abbia solo confuso di più).
La richiesta era: $ dy/dx=f(x,y) $ è risolvibile in generale?
Messa così credo volesse dire "assunta f(x,y(x)) è risolvibile in generale come funzione data per funzioni elementari e valida per ogni $ x in RR $"?
ripositore ha scritto:Ora, cercando risposte avevo trovato il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy [...]
ripositore ha scritto:[...] ma questo teorema non faceva al caso mio perché dimostrava l'esistenza di almeno una soluzione data f continua ma con una condizione iniziale e trovava un intorno per cui c'era effettivamente una soluzione.
ripositore ha scritto:[...] Mentre io volevo il caso senza condizione iniziale [...]
ripositore ha scritto:[...] inoltre volevo $ x in R $, quindi soluzioni y che fossero funzioni su tutto R. E mi pare quel teorema non mi dia risposte a questo quesito.
ripositore ha scritto:Oltre a questo volevo chiederti dal teorema non possiamo concludere molto su f non continua e mi chiedo quindi: se f non è continua potrei avere comunque soluzione (anche non in forma elementare) in certi casi con x che si estende in tutto R? Oppure se non è continua non ho mai soluzione (non so se esista un altro teorema per questo)
ripositore ha scritto:°)mi proponevi questa, però questo è un esempio di equazione lineare.$ y′(x)=e^-(x^2) $
La mia domanda era leggermente differente, provo a esprimerla meglio: se ho una $f(x,y)$ che mi dà una eq. non a variabili separabili (quindi non si può scrivere come $ d(x)*l(y)$) e non lineare; mi chiedo: ci sono casi in cui data una f del genere comunque l'equazione sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una soluzione espressa con funzioni elementari e con $ x in R $?
Non mi vengono esempi in mente.
per questo ipotizzo: vale forse qualcosa tipo, se non è a variabili separabili e lineare => la funzione soluzione non è sicuramente elementare? oppure potrebbe essere che non esiste mai proprio? o forse è elementare e non vale per x in tutto R? (una di queste?)
ripositore ha scritto:°) mi sembra chiaro dal tuo esempio che non posso asserire se eq. è lineare => la soluzione è esprimibile con funzioni elementari.
Tuttavia mi chiedo, se ho una equazione a variabili separabili ottengo sempre una soluzione esprimibile con funzioni elementari e che sia soluzione per ogni x in R? oppure ci sono casi in cui pur essendo esprimibile a variabili separabili ha soluzione:
- non elementare
- oppure una soluzione elementare che non vale per ogni x in R?
(mi pare di no)
26/04/2024, 10:09
certo ORA mi è chiaro il punto, però quello che mi lasciava confuso era che la soluzione di una equazioni per separazione di variabili mi permette di trovare la soluzione senza passare per un problema di cauchy: integro e ho l'integrale generale bello che pronto. E non capivo perché in certi casi si riesce a non sfruttare il teorema "Punto per punto arbitrario" (appunto la separazione), mentre in altri devo passare per il pdc (come nella seconda parte della soluzione del tuo spoiler). Questa "ambivalenza" di tipi di soluzioni mi creano confusione.In altre parole, tu stai chiedendo: "Vorrei conoscere una qualsiasi soluzione".
Il matematico ti dice: "Se mi dai un qualsiasi punto, io ti so dire quale soluzione ci passa... Va bene così?"
ripositore ha scritto:se ho una $f(x,y)$ che mi dà una eq. non a variabili separabili (quindi non si può scrivere come $ d(x)*l(y)$) e non lineare; mi chiedo: ci sono casi in cui data una f del genere comunque l'equazione sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una soluzione espressa con funzioni elementari e con $ x in R $?
Non mi vengono esempi in mente.
per questo ipotizzo (nota: qui cercavo un thm): vale forse qualcosa tipo, data una eq. $(dy)/(dx)=f(x,y)$ se non è a variabili separabili e lineare => la funzione soluzione non è sicuramente elementare? oppure potrebbe essere che non esiste mai proprio? o forse è elementare e non vale per x in tutto R? (una di queste?)
Se invece tale ipotesi di teorema fosse errata, mi sarebbe piaciuto trovare un controesempio, cioe $(dy)/(dx)=f(x,y)$ non a variabili separabili e lineare ma che avesse una soluzione espressa con funzioni elementari e con $ x in R $
Chiedevo questo in sostanza.
in sostanza mi sono mal espresso, ma volevo solo capire se, come dicevo qui sopra nel post, ci fossero controesempi che vanificassero la mia congettura o se vi fossero teoremi che confermassero una intuizione basata su mera esperienza di equazioni differenziali banali trovate nella pratica chimica .ripositore ha scritto:°) mi sembra chiaro dal tuo esempio che non posso asserire se eq. è lineare => la soluzione è esprimibile con funzioni elementari.
Tuttavia mi chiedo, se ho una equazione a variabili separabili ottengo sempre una soluzione esprimibile con funzioni elementari e che sia soluzione per ogni x in R? oppure ci sono casi in cui pur essendo esprimibile a variabili separabili ha soluzione:
- non elementare (un controesempio per questa può semrpe essere -se non erro- la $y′(x)=e^(−(x^2))$ che è anche a variabili separabili oltre che lineare)
- oppure una soluzione elementare che non vale per ogni x in R? (per questa ora ho un controesempio a var. separabili: $y′(x)=y^2(x)$ e quindi risulta chiaro che è una baggianata )
Mi incuriosiva quindi un controesempio anche per il caso non elementare, ma non mi ero accorto di averlo già
28/04/2024, 16:44
ripositore ha scritto:Una domanda invece correlata alla tua completa risposta. Come si ottiene l'integrale generale: $y(x)=Cex−x−1$ dall'inizio? Cioè come l'hai ottenuta a priori?
ripositore ha scritto:Questa "ambivalenza" di tipi di soluzioni mi creano confusione.
30/04/2024, 11:07
questo è vero, ma non hai idea di quanto sia vasta la chimica e quanto tempo, anima e corpo bisogna dedicargli. E purtroppo non si ha lo stesso tempo da dedicare a ragionare su tutto, per questo la preparazione è ormai settorializzata, è sicuramente una cosa che vogliio approfondire quella delle EDO e molta parte della matematica fatta maluccio nei corsi. Posso farlo autonomamente? Certo, ma devo prima finire la triennale che mi richiede corsi su corsi di chimica organica, chimica computazionale, biochimica, chimica analitica, stechiometria, cristallografia.... ovviamente la giornata è la stessa per tutti, però tu hai scelto di dedicare le tue risorse mentali alla matematica, io alla chimica Ed è palese che cose che sai tu, e ti sembrano semplici per me non lo siano.Se però si usano sempre formule risolutive "preconfezionate", non capendo da dove vengono, si incorre nei problemi in cui sei incappato tu.
Se però si usano sempre formule risolutive "preconfezionate", non capendo da dove vengono, si incorre nei problemi in cui sei incappato tu.
La Matematica non sta nell'applicazione di una formuletta per trovare la soluzione di un problema, ma nel capire qual è il ragionamento sottostante.
Data l'arbitrarietà nella scelta del punto iniziale $(x0,y0)$, al variare del punto iniziale la quantità $e^(−x0)(x0+1+y0)$ assume tutti i valori reali, quindi essa si può considerare come un parametro arbitrario; sostituendo quella costante complicata con C, dalla formula precedente otteniamo quello che è l'integrale generale:
$y(x)=Ce^x−x−1$
30/04/2024, 13:40
30/04/2024, 14:38
30/04/2024, 22:04
01/05/2024, 16:15
02/05/2024, 01:03
02/05/2024, 12:25
eh perché sono un asinazzo!gugo82 ha scritto:1) Quella roba lì (cioè $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR $) non ha dominio $RR \setminus \{0\}$: perché?
e ho detto orbene il dominio della mia y(t) soluzione è $(−∞,0)$ unito $(0,+∞)$.2)
da qui poi vedevo partire la soluzione del problema di C.:
- $y=0$ non soddisfa la condizione iniziale e la levo dalle scatole
- ragiono su $(−∞,0)$ unito $(0,+∞)$, siccome il pdc ha soluzioni su un intervallo devo scegliere uno dei due ed evidentemente è il secondo dato che $y(1)=3∈(0,+∞)$
se come ho finalmente capito il dominio non è $(0,+∞)$ trovo insensato imporre quella condizione di $>0$. Prima aveva senso nel mio errore interpretativo, ora no!fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $k$ da cui $y(t)=(2-t^3)/3$ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $y(t)>0$ cioè: $(2-t^3)/3>0$ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $t<2^(1/3)$.
questo non mi viene in mente . Ci ho pensato e credo abbia a che fare con l'idea precedente dove impone $(2-t^3)/3>0$ e trova le t per cui vale. Ma non riesco bene a capire il motivo dato che come dicevo nel quote appena sopra non mi è chiaro il ragionamento.E, nel suo dominio naturale, non può essere una soluzione lecita di una EDO: perché?
risponderei così: data $f:(a,b)->RR$ dicesi primitiva la funzione la funzione $g:(a,b)$ in $RR$ derivabile tale che $g'(x)=f(x), forall x in (a,b)$ è la formulazione più furba che mi viene in mente di dare.Domanda collegata: che cos’è una primitiva?
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