25/04/2024, 15:50
25/04/2024, 17:07
Quasar3.14 ha scritto:$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)(n)!(n+1)^3)/((n+1)(n+1)^n) * n^n / (n!n^3)$
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)/n)^3 * ((n+1)/n)^n$
$ \lim_{n \to +\infty} (1+1/n)^3 * (1+1/n)^n = \lim_{n \to +\infty} (n!n^3)/n^n=1$
25/04/2024, 17:44
Quasar3.14 ha scritto:C’è un altro modo per determinare il carattere della serie oppure l’esercizio è concluso?
Quasar3.14 ha scritto:$ \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt(n)-\sqrt(n-1) $
Quasar3.14 ha scritto:Terzo esercizio
Quasar3.14 ha scritto:Infine il quarto e ultimo esercizio è il seguente.
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^n/(2^n * n!))^n $
25/04/2024, 19:07
25/04/2024, 19:28
25/04/2024, 23:24
Quasar3.14 ha scritto:Il dubbio a questo punto è tutto nella semplificazione di $n^n$
Quasar3.14 ha scritto:Per il terzo esercizio non mi è chiaro come si è passati da $ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 1/n $ a $ - ln2 - \sum_{n=1}^{+\infty} $
Quasar3.14 ha scritto:Per le serie a segni alterni avevo sempre utilizzato il criterio di Leibniz.
Quasar3.14 ha scritto:Per il quarto esercizio, è quindi sufficiente dimostrare che il limite di $a_n$ senza esponente, [...]
Quasar3.14 ha scritto: Ringrazio nuovamente per l'aiuto che mi stai dando!
26/04/2024, 12:05
pilloeffe ha scritto:Non capisco che dubbio hai: come ti dicevo risulta $1/e < 1 $ che è ciò che risulta anche a te...
pilloeffe ha scritto:No attenzione, per come l'ho definito $ a_n $ è con l'esponente $ n $: nota però che se lo togli è come se avessi applicato il Criterio della radice, quindi ti basta far vedere che $ \lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n \cdot n!) = l > 1 $ ed in effetti si trova $ \lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n \cdot n!) = +\infty $
gugo82 ha scritto:Scusate, ma tutto quel casino inutile sulla seconda serie?
Osserva bene: la serie $ sum sqrt(n) - sqrt(n-1) $ è telescopica, non c'è nessun bisogno di fare calcoli di alcun tipo per stabilire che diverge.
Vedi qui, §1.2 pag. 4.
26/04/2024, 12:20
Quasar3.14 ha scritto:Il dubbio nasce dal fatto se sia corretto riscrivere e quindi semplificare $n^n$ in questo modo
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^3)/(n^n(1+1/n)^n) * n^n / (n^3) $
Quasar3.14 ha scritto:Ma la serie telescopia non si presenta nella forma $ sum sqrt(n) - sqrt(n+1) $ in quella postata c'è una differenza invece della somma.
27/04/2024, 15:16
27/04/2024, 16:28
Quasar3.14 ha scritto:devo controllare se viene rispettata o meno la condizione necessaria di convergenza di Cauchy
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