Potreste darmi una mano nel chiarire i seguenti dubbi?
Sia $P(V)$ lo spazio proiettivo associato a $V$.
1) Se $dimV=0$ cioè se $V={0_V}$ si ha che $V-{0_V}=O/$ perciò $P(V)=O/$ e $dimP(V)=dimO/=dimV-1=-1$. Magari è banale ma, come fa l'insieme vuoto ad essere dotato di struttura di spazio vettoriale? Non posso definire alcuna operazione. Dunque che senso ha uno spazio proiettivo associato a qualcosa che non è uno spazio vettoriale?
2) Per dare una definizione preliminare di retta proiettiva reale, si costruisce il seguente esempio. Sia $V=\RR^2$ In particolare identifichiamo $\RR^2$ con lo spazio affine numerico $\RR^2-=A_2(\RR)$.
Premetto che oltre alla definizione di spazio proiettivo mediante l'insieme quoziente, ci è stato definito anche mediante il concetto di grassmanniana dei sottospazi 1-dimensionali. Dunque $P^1(\RR)$ è dato dai sottospazi di $\RR^2$ aventi dimensione 1 cioè dalle rette passanti per l'origine.
Fin qui mi è tutto chiaro se non fosse che dato un generico vettore $v\inV$, si ha che $[v]_~ "="<v>"-"{0_V}$. Ma allora $P^1(\RR)$ non dovrebbe essere un insieme di rette discontinue nell'origine?
3) Sempre in riferimento a quanto detto sopra, si parla di coordinate di $\RR^2$ e dette tali $(x,eta)$, abbiamo che il vettore $(alpha,beta)\in\RR^2$ (ed ogni vettore proporzionale) inidividua la retta di equazione $\alpha eta -beta x=0$.
Che cosa si intende con coordinate di$\RR^2$? Non essendo un punto di $P^1(V)$ come fa ad ammettere coordinate omogenee?
4) In merito al cambiamento di coordinate omogenee. Siano $B={e_0...e_n}$ e $B'={F_0...F_n}$ due basi di V. Sia $A$ la matrice di passaggio dunque $forall v=x_0e_0+...+x_n"e_n=eta_0F_0+...+eta_nF_n$ si ha $eta=Ax$. Si afferma che la matrice A che esprime il cambiamento di coordinate omogenee non è univocamente determinata in quanto dipende dalla scelta diversa delle basi. Quindi due basi diverse daranno luogo ad una matrice $C$ tale che che $C=\alpha*A$ che "genererà" l'equazione $eta=alpha*A*x$ che in termini di coordinate omogenee è equivalente all'equazione $eta=Ax$.
Ora, io ho provato a fare un esempio scegliendo 4 basi casuali, non proporzionali. Non è vero che le matrici di passaggio sono (sempre) proporzionali. Ho sbagliato io a fare i conti o vale solo per basi proporzionali o per basi con determinate caratteristiche?
Vi ringrazio per l'aiuto e per il vostro tempo.