Circonferenza

Data l equazione $x^2+y^2-2kx-3k=0$, determina per quali valori di K essa rappresenta una circonferenza che individua sulla retta di equazione $x+y+2=0$ un segmento di misura $2sqrt2$

Ho pensato di mettere a sistema l'equazione della circonferenza in K con l equazione della retta. Ottengo l equazione $2x^2+2(2+k)x+4-3k$. Ho calcolato il discriminante e ho pensato di imporlo maggiore di zero in modo da ottenere due soluzioni reali distinte. Il problema è che ottengo una equazione di secondo grado in k, il cui delta è $29$. Credo proprio che stia sbagliando qualcosa.
Grazie per l'aiuto!

Ultima modifica di sentinel il 10/04/2024, 23:56, modificato 1 volta in totale.

Ottengo l equazione $2x^2+2(2+k)x+4-3x$.

A parte $3x$ dove suppongo intendevi $3k$, direi che non è $(2+k)$ ma $(2-k)$, con che i risultati diventano più gradevoli

Ho apportato le correzioni suggerite . Adesso il discriminante è 5. Come dovrei continuare? Grazie

Adesso il discriminante è 5. Come dovrei continuare?

Ma cosa te ne fai del discriminante? Una volta che hai la tua equazione in $x$, trovi le soluzioni, $x_1$ e $x_2$.
Poi dovresti notare che la retta è inclinata a 45°, per cui se due punti della retta distano $2sqrt(2)$, le ascisse dei punti differiscono di $2$. Quindi deve essere $x_1 - x_2 = 2$, da cui ricavi $k$.

Sei preparato ma non sai spiegare.
Grazie lo stesso

Sei preparato ma non sai spiegare.

Nel dettaglio, qual è, secondo te, la spiegazione inadeguata? Se intendi dire che non ti ho dato una soluzione per filo e per segno, con tutti i puntini sulle i, è vero, ma lo faccio apposta

Sono un utente iscritto al forum molto prima di te. Se guardi lo storico dei miei post non chiedo la risoluzione per scopiazzare l esercizio, bensì per capire.
Se avessi avuto le competenze per capire che il discriminante non serve, oppure che la retta é inclinata di 45 gradi, non ci sarebbe stato motivo di chiedere aiuto.
Sarebbe bene distinguere l utente che chiede per imparare da quello che chiede con il solo fine di scopiazzare.

Prova cosi': completi i quadrati nella circonferenza e trovi il centro e il raggio

$x^2+y^2-2kx-3k = 0$

$(x-k)^2+y^2= 3k+k^2$

Il centro e' $(k, 0)$
Poi trovi la distanza della retta dal centro.
$$d(P,r)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$
la distanza e' $d=(k+2)/\sqrt2$

Adesso siccome il segmento della retta e' una corda del cerchio, con Pitagora calcoli

$(s/2)^2 + d^2 = R^2$

$2 + (k+2)^2/2 = 3k+k^2$

$k^2 + 2k -8= 0$

Hai 2 soluzioni $k= 2, -4$

Tutto chiaro. Questo metodo risolutivo comporta meno calcoli e passaggi rispetto a quello in cui si lavora con le coordinate in k dei due punti di intersezione della retta secante.
Grazie tante per il tuo contributo!