Quasar3.14 ha scritto:Non ho capito a questo punto però come dimostrare la convergenza della seconda serie visto che la semplificazione è errata.
La semplificazione è errata se pretendi che sia corretto qualcosa del tipo $\root[n]{a^n - b^{n^2}} = a - b^n $, ma non lo è se applichi il
Criterio della radice alla seconda serie:
$\lim_{n \to +\infty} \root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} (1 - 2/n)^n = e^{- 2} < 1 $
Pertanto si conclude che la seconda serie è convergente. Dato però che la prima è positivamente divergente, si conclude che tale è anche la serie proposta.
Quasar3.14 ha scritto:Però per provare il non soddisfacimento della serie devo comunque fare il limite, ma mi trovo comunque a dover applicare il criterio del rapporto
No, non è necessario, perché si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} 5^n/(n^5*2^(2n)) = \lim_{n \to +\infty} ((5/4)^n)/n^5 = +\infty $
dato che $5/4 > 1 $ e l'esponenziale con base maggiore di uno prevale su qualsiasi potenza di $n$
Quasar3.14 ha scritto:Pensi che anche lo svolgimento dell'esercizio sia corretto? Nel senso come sono giunto a $1/4 < 1 $
No, perché applicando il
Criterio del rapporto si ha:
$\lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/a_n = \lim_{n \to +\infty} (1/(3^{n+1} - n - 1))/(1/(3^n - n)) = \lim_{n \to +\infty} (3^n - n)/(3^{n+1} - n - 1) = \lim_{n \to +\infty} (1 - n/3^n)/(3 - n/3^n - 1/3^n) = 1/3 < 1 $
Quasar3.14 ha scritto:Perchè $3^n−n \ge 2^n $? Cioè come sappiamo che ciò è vero?
Beh è vero, prova a dimostrarlo ad esempio per induzione. Comunque già dai primi valori di $n$ si vede che è vero e all'aumentare di $n$ aumenta sempre di più la "distanza" $d$ fra il primo ed il secondo membro della disuguaglianza:
- per $n = 1 $ si ha $ 3^1 - 1 = 2^1 \iff 2 = 2 $, $d = 2 - 2 = 0 $;
- per $n = 2 $ si ha $3^2 - 2 > 2^2 \iff 7 > 4 $, $d = 7 - 4 = 3 $;
- per $n = 3 $ si ha $3^3 - 3 > 2^3 \iff 24 > 8 $, $d = 24 - 8 = 16 $;
- per $n = 4 $ si ha $3^4 - 4 > 2^4 \iff 77 > 16 $, $ d = 77 - 16 = 61$;
e così via...
Quasar3.14 ha scritto:Per la prima(ossia la quarta) quindi anche la semplificazione che avevo fatto diventa superflua.
Perché superflua? invece conviene proprio farla...
Quasar3.14 ha scritto:Calcolando il limite la serie diverge in quanto il numeratore è un infinito di ordine superiore, giusto?
No. Qui se procedi con la semplificazione non c'è più alcun numeratore e denominatore, la serie è a termini positivi e dato che ovviamente $ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} n = +\infty $ non è soddisfatta la
Condizione necessaria di convergenza di Cauchy, pertanto si conclude che la serie è positivamente divergente.
Quasar3.14 ha scritto:La quinta invece pensi che sia corretta?
Solo la conclusione è corretta (serie divergente), ma la
serie armonica con logaritmo che hai menzionato è diversa da quella che hai perché è $\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{\alpha} ln^{\beta} n) $ che diverge positivamente se $\alpha < 1 \vv \alpha = 1 ^^ \beta \le 1 $: per ricondurla a questa devi fare un passaggio sfruttando le proprietà dei logaritmi:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(\sqrt{n} lnn^3) = \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(3 \sqrt{n} lnn) = 1/3 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(\sqrt{n} lnn) = 1/3 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{1/2} lnn)$
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con logaritmo con $\alpha =1/2 $ e $\beta = 1 $ che in effetti è positivamente divergente. Io senza ricordarmi della serie armonica generalizzata con logaritmo avrei osservato che come ti ho già mostrato in un altro post $\forall \alpha > 0 $ si ha $ln n^{\alpha} < n^{\alpha} $ e quindi scegliendo il comodo valore $\alpha = 1/2 $ si ha $ln n < 2 n^{1/2} \iff 1/(ln n) > 1/(2n^{1/2}) $ ed applicando il
Criterio del confronto all'ultima serie scritta si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{1/2} lnn) > \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{1/2} 2n^{1/2}) = 1/2 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n $
L'ultima scritta è la serie armonica privata del primo termine ($1$, quello che si ottiene per $n = 1$), per cui si conclude che la serie proposta è positivamente divergente.