Dubbio funzione obiettivo con più funzioni

Rieccomi con questo esercizio.
Solitamente non mi creano particolari problemi ma questo non mi torna. Il testo dice:
"Un'industria programma la sua produzione in base ai seguenti dati;

1) costi fisso giornaliero 4.000 €
2) costo di produzione 20 € al kg per i primi 300, poi 21 € al kg per la parte eccedente 300 kg.
3) il prezzo di vendita è legato alla quantità domandata dalla legge $x=9000 - 100p$ dove x indica la quantità in kg e p indica il prezzo.

Sapendo che la produzione non può superare i 500 kg, determina il numero di kg che conviene produrre per avere il massimo utile".

La funzione dei costi è una funzione a tratti per qui:

$y=4000 + 20x$ per $0<=x<=300$

$y=4000 + 20*300 + 21(x-300)$ per $x>300$

Per la funzione dei ricavi devo estrapolare il prezzo dalla legge di domanda, quindi isolo "p"
$100p=9000-x$

$p=(9000-x)/100$

$p=90-x/100$

a questo punto trovo la funzione dei ricavi sapendo che è "prezzo * quantità"

$(90-x/100)*x=90x-x^2/100$

riscrivo moltiplicando per 100 entrambi i membri
$y=9000x-x^2$

La mia idea era di trovare le funzioni di utile, sottraendo alla funzione dei ricavi le funzioni dei costi, per poi trovare il vertice delle due funzioni di utile (palese che siano parabole) per identificare quale delle due avesse il vertice con la y piu elevata.

trovo la funzione di utile nel primo tratto con $x<=300$
y(utile)=$9000x-x^2-4000-20x$

il problema è che mi vengono numeri assurdi, ma non saprei che altro inventarmi. La logica è corretta, dove sto sbagliando?
Grazie mille come sempre

P.s i risultati sono
$500 kg$ e utile max $28.300$

... riscrivo moltiplicando per 100 entrambi i membri ...

Spero che tu stia scherzando. Viceversa, confondi gravemente il concetto di espressione con il concetto di equazione.

... riscrivo moltiplicando per 100 entrambi i membri ...

Spero che tu stia scherzando. Viceversa, confondi gravemente il concetto di espressione con il concetto di equazione.

hai ragione ho scritto un'emerita boiata

l'utile sarebbe $y=90x-x^2/100$
se moltiplicassi a destra e sinistra per 100 otterrei
$100y=9000x-x^2$

ho provato a rifarlo comunque ma non mi risulta lo stesso.

utile $-x^2/100+70x-4000$
trovo il vertice ma mi risulta $3.500$
utile nel secondo caso $-x^2/100+69x-600-4000$
trovo il vertice e risulta $2450$

Quando devi determinare gli estremi assoluti di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato, devi controllare anche i valori della funzione agli estremi dell'intervallo. Insomma, non necessariamente il massimo assoluto è assunto all'interno dell'intervallo.

Quando devi determinare gli estremi assoluti di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato, devi controllare anche i valori della funzione agli estremi dell'intervallo. Insomma, non necessariamente il massimo assoluto è assunto all'interno dell'intervallo.

Questa è la frase che mi serviva
Riepilogo per i miei neuroni:

1) - trovo la prima funzione dell'utile che ha un massimo in corrispondenza del suo vertice
2) - trovo la seconda funzione dell'utile , anch'essa che presenta un massimo nel suo vertice
3) - se mi trovassi in un intervallo aperto opterei per il vertice che mi garantisce il massimo utile
4) - Siccome non posso raggiungere quei vertici (il massimo si ottiene fuori dall'intervallo come giustamente mi hai detto), che sono alla destra del mio limite massimo, non posso fare altro che fermarmi a 500 kg. In quel punto sono in "salita", pertanto mi trovo nella condizione che ogni punto che si avvicina al vertice è migliorativo rispetto al precedente; pertanto l'ultimo punto che posso prendere è 500.
Può andare come ragionamento?
Grazie

P.s. se dovessi fare un disegno approssimato, fino a 300 utilizzo la funzione del primo utile, poi mi stoppo
e dopo 300 disegno l'altra funzione dell'utile giusto?

Più semplicemente, poichè:

$0 lt= x lt= 300$

$y=-x^2/100+70x-4000$

$300 lt x lt= 500$

$y=-x^2/100+69x-3700$

il grafico è composto da due rami crescenti di parabola che si raccordano con continuità per $x=300$. Ergo, il massimo assoluto è assunto per $x=500$.

Grazie mille chiarissimo