pilloeffe ha scritto:Che ne diresti di provare con lo sviluppo in serie? $y(0) $ ce l'hai, $y'(0) $ pure e $y''(0) $ lo puoi ricavare facilmente...
ingres ha scritto:La dimostrazione del punto a) non mi convince molto, perchè mi sembra che si usi la tesi per giustificare i passaggi. Magari dettaglia maggiormente.
Comunque, ammettendo che il problema ammetta una soluzione sviluppabile in serie di potenze, personalmente avrei dimostrato come suggerito da @pilloeffe ovvero che tutte le potenze dispari hanno coefficiente nullo e pertanto la soluzione è pari (in questo senso il fatto che y'(0) = 0 è importante).
Grazie ad entrambi, ho risolto il primo punto facendo uso dello sviluppo di Taylor. In effetti, mostrando che la soluzione è pari, per definizione, risulta allora $y(x)=y(-x)$, provando così la tesi. Giusto?
@ingres ho seguito il tuo suggerimento per risolvere anche il punto
b), grazie
gugo82 ha scritto:Il p.d.C. ha soluzioni? Se sì, quante?
Se trovassi, putacaso, due soluzioni del p.d.C. cosa accadrebbe? Possono essere distinte?
Detta $ y(x) $ una soluzione (locale? globale?) del tuo p.d.C., per caso la funzione $ u(x) := y(-x) $ è soluzione dello stesso p.d.C.?
Cosa puoi concludere?
Per il teorema di esistenza e unicità locale, il p.d.C. ha un'unica soluzione e nel caso in cui se ne trovassero due esse devono necessariamente coincidere... Pertanto se $y(x)=y(-x)$, la soluzione deve essere pari... Volevi indurmi a pensare questo (?)