Vi sono 4 tipi di funzioni generatrici (non sempre tutte possibili). Scegliamo la 2, ovvero $G(q,P)$ per la quale valgono le seguenti
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_canonica1) $p = (del G)/(del q)$
2) $Q = (del G)/(del P)$
Dalle equazioni della trasformazione si ricavano (nei passaggi successivi non starò a guardare eventuali radici negative e condizioni di esistenza)
3) $p = 1/2 arcsin (P/sqrt(q))$
4) $Q = sqrt(q-P^2)$
In base alle relazioni 4) e 2) si ottiene:
$(del G)/(del P) = sqrt(q-P^2)$
per cui integrando risulta (f(q) generica funzione di q)
$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q)) + f(q)$
Derivando la relazione di cui sopra e imponendo la 1) e la 3) si verifica che risulta $f(q) = text(cost)$ e quindi si può porre per semplicità $f(q)= 0$ . In conclusione una generatrice di secondo tipo, a meno di errori di calcolo per cui ti invito a riverificare, dovrebbe essere:
$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q))$
Ti invito inoltre a trovare con analogo procedimento la generatrice di tipo 1 $G(q,Q)$ che è quella per cui valgono le condizioni che hai scritto.
Chi non vorrà attingere ad altra intelligenza che alla sua, si troverà ben presto ridotto alla più miserabile di tutte le imitazioni: a quella delle sue stesse opere (Ingres)