Binomio di Newton

Non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione di $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^k b^(n-k)$.
La dimostrazione è per induzione. Si dimostra il passo base e, sviluppando $(a+b)^(n+1)$, si arriva a $\sum_{k=0}^n((n),(k))a^(k+1)b^(n-k) + \sum_{k=0}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k)$.
Poi si pone $v=k+1$, quindi si ottiene:
$\sum_{v=1}^(n+1)((n),(v-1))a^vb^(n+1-v) + \sum_{k=0}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k) => a^(n+1)+b^(n+1) + \sum_{v=1}^n ((n),(v-1))a^vb^(n+1-v) + \sum_{k=1}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k)$.

Poi si cambia ancora il nome dell'indice e si pone $k=v$, in modo da ricondursi a due coefficienti binomiali con la stessa lettera $v$ e fare un raccoglimento:
$a^(n+1)+b^(n+1) + \sum_{v=1}^n[((n),(v-1))+((n),(v))]a^kb^(n+1-k)$.
Non mi è chiarissimo questo passaggio: prima si era posto $v=k+1$, perché ora si fa il cambio dell'indice ponendo $v=k$?

Ciao HowardRoark,

La questione è già stata trattata ampiamente anche qui sul forum, ma potresti dare un'occhiata alla dimostrazione per induzione qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale

La dimostrazione su wikipedia l'ho appena letta e più o meno l'ho capita, è molto simile alla mia anche se non si adoperano cambi di indice. Comunque il cambio di indice nella mia dimostrazione continua a non convincermi a pieno, ma male che vada mi farò andare bene quella di wikipedia.

L’indice di sommatoria è muto, perché il valore della somma dipende solo da tre cose: gli addendi ed i due estremi dell’indice.
Dunque, volendo, puoi anche usare sempre la stessa lettera e non fai danno (al massimo crei un po’ di confusione nel lettore meno esperto), basta che gestisci bene gli estremi e le eventuali dipendenze degli addendi dall’indice.
Ad esempio, è evidente che:

$sum_(k=1)^(10) 18^(2k - 1) = sum_(k=0)^9 18^(2k + 1)$.