Eccetto qualche refuso qui e là (ad esempio, all'inizio scrivi che la condizione d'esistenza è \(x>0\), quando invece è \(x>0\,\land x \ne 1\), dato che dobbiamo scongiurare l'annullamento del denominatore), le soluzioni risultano essere corrette. In ogni modo, sintetizzo le varie risoluzioni, magari fanno comunque comodo.
Quasar3.14 ha scritto:$ log_2 x^2 + (1/log_2 x) <=3 $
Posto \(t=\log_2 x\), si ha: \[
2t+\frac{1}{t}\le 3 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{(2t-1)(t-1)}{t}\le 0 \quad\Leftrightarrow\quad t<0\,\vee\,\frac{1}{2}\le t\le 1.
\] Pertanto, essendo: \[
\log_2 x<0 \quad\Leftrightarrow\quad 0<x<1
\] e ancora: \[
\frac{1}{2}\le\log_2 x\le 1 \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}\le x\le 2
\] l'insieme soluzione è: \[
S=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\,\vee\,\sqrt{2}\le x\le 2\right\}
\] dove ci tengo a sottolineare il connettivo logico \(\vee\) OR (che è diverso da \(\land\) AND).
Quasar3.14 ha scritto:$ log(x + 1/x)<=1 $
Innanzitutto mettiamo in chiaro quando ha senso quella disequazione: \[
x+\frac{1}{x}>0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x^2+1}{x}>0 \quad\Leftrightarrow\quad x>0.
\] Quindi, applichiamo la funzione \(\exp(\cdot)\) ambo i membri della disequazione, ottenendo: \[
x+\frac{1}{x}\le e \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x^2-e\,x+1}{x}\le 0
\] che intersecata con la condizione d'esistenza \(x>0\) porta all'insieme soluzione: \[
S=\left\{x\in\mathbb{R}: \frac{e-\sqrt{e^2-4}}{2}\le x\le\frac{e+\sqrt{e^2-4}}{2}\right\}.
\]
Quasar3.14 ha scritto:$(x-2)ln(x-1)<=x$
Questa disequazione, invece, non può essere risolta in modo esatto come fatto precedentemente, bensì si presta bene ad una risoluzione approssimata. D'altro canto, il tutto dipende dagli strumenti matematici che possiedi, quindi prima di qualsiasi altra considerazione ti invito a rivedere per bene il testo dell'esercizio, magari copialo qui nel forum parola per parola, che in base a quello capiamo come muoverci.