Salve,
sintetizzo qui la disequazione incriminata e i procedimenti che ho fatto per provare a risolverla, sperando qualcuno arrivi in mio soccorso :
$\frac{1}{x-a} \le \frac{1}{2x-b}$
Condizioni di esistenza:
$ x \ne a $
$ x \ne b/2 $
Ho provato a risolverla in due modi diversi, entrambi non adatti a questa disequazione secondo me, ma non conosco altri metodi:
1 modo) suppongo $2x - b > 0, x > b/2$per moltiplicare ambo i membri per $ 2x -b $
$\frac{2x-b}{x-a} \le 1$
Dopodichè comincio con analizzare la disequazione e trovare le soluzioni perchè quella frazione sia $\le 1$:
1) la frazione è uguale a 1, e quindi:
$2x-b = x-a$
$x = b -a $ è soluzione
2) la frazione è minore di 1 ma positivo, e quindi numeratore e denominatore positivi, numeratore < denominatore:
$2x-b > 0$
$x-a > 0$
$2x-b < x-a$
$x > b/2 $
$x > a$
$x< b-a$
da qui ho cercato di mettere insieme i risultati per trovare la relazione tra b e a:
$a<x< b-a $
$a< b-a $
$2a< b $
b/2 è maggiore di a perciò ho scritto come soluzione di questo caso:
$b/2 < x < b-a$
che concorda la supposizione data $x > b/2$
3) la frazione è minore di 1 ma positivo, ma con numeratore e denominatore negativi, numeratore > denominatore:
$2x-b < 0$
$x-a < 0$
$2x-b > x-a$
$x < b/2 $
$x < a$
$x > b-a$
per $b < 2a$
soluzione: $b-a<x< a $
4) la frazione è minore di 1 e negativa, quindi numeratore positivo, denominatore negativo:
$2x-b > 0 $
$x-a < 0 $
$x > b/2 $
$x < a $
$ b/2 < x < a$
$ b/2 < a$
$ b < 2a$
mettendo insieme la soluzione di questo caso diventa $b/2 < x < a$
5) gli altri casi in cui la frazione è minore di 1 e negativa, suppongono il numeratore negativo che va contro la supposizione iniziale
ora suppongo $2x - b < 0, x < b/2$per moltiplicare ambo i membri per $ 2x -b $ e cambiare il segno della disequazione
$\frac{2x-b}{x-a} \ge 1$
Dopodichè comincio con analizzare la disequazione e trovare le soluzioni perchè quella frazione sia $\ge 1$:
1) frazione maggiore di 1, se (essendo numeratore negativo) il denominatore è anch'esso negativo e numeratore < denominatore:
$2x-b < 0 $
$x-a < 0 $
$2x-b < x-a $
$x < b/2$
$ x < a$
$ x < b - a$
qua non so quantificare b/2, a e b-a perciò non sono riuscito a trovare delle soluzioni per questo caso
forse solo $x < a$ ?
mettendo insieme le soluzioni trovate per questo modo di fare:
per b > 2a, $b/2 < x <= b-a$ e $b/2 < x < a$, come si uniscono ?
per b < 2a, $b/2 < x < a$
per b = 2a, $x < a$ (trovato sostituendo il valore nella disequazione originaria e ragionandoci su)
2 modo) qui non ho effettuato sostituzioni ma ho analizzato la disequazione così come si presenta:
perchè $\frac{1}{x-a}$ sia minore o uguale di $\frac{1}{2x-b}$ allora ci sono più scenari possibili:
1) le frazioni sono uguali:
$x-a = 2x-b $
$x = b - a$
2) i denominatori sono entrambi positivi e x-a è più grande
$x-a > 0$
$2x-b > 0$
$x-a > 2x -b$
$x > a$
$x > b/2$
$x< b-a$
per $b > 2a$
soluzione: $b/2<x<b-a$
3) x-a è negativo e 2x-b è positivo
$x-a < 0$
$2x-b > 0$
$x < a$
$x > b/2$
per $b < 2a$
soluzione: $b/2 <x < a$
4) denominatori entrambi negativi e 2x-b più grande di x-a
$x-a < 0$
$2x-b < 0$
$x-a < 2x -b$
$x < a$
$x < b/2$
$x >b-a$
per $b<2a$
soluzione: $b-a < x < b/2$
concludendo nel secondo modo le soluzioni trovate sono:
per $b > 2a$ soluzione: $b/2<x<=b-a$
per $b<2a$ soluzione: $b/2 <x < a$ e $b-a < x < b/2$
per $b = 2a$ la stessa soluzione dell'altro modo
Le soluzioni del libro includono le mie ma ne aggiunge altre, il mio ragionamento deve essere pieno di disaccortezze, aiuto