Problema con funzione definita sull'insieme delle parti

Mi sono imbattuto in un paradosso su funzioni e insieme vuoto.
Sia A={a} un insieme. Consideriamo l'insieme delle parti di A e l'insieme dell'insieme delle parti dell'insieme delle parti di A
P(A)={{a},∅}={A,∅}
PP(A))={P(A),∅,{A},{∅}}
Ora consideriamo la funzione che manda PP(A) in PP(A)
f:PP(A)->PP(A)
definita da
f(X)=X∪{∅} con X∈P(A)
Valuto f su ∅
f(∅)=∅∪{∅}={∅}
Adesso mi chiedo chi è la controimmagine di ∅. Deve essere f(X)=∅
X∪{∅}=∅ ma questo è impossibile perchè a sinistra X∪{∅} contiene almeno ∅, quindi ha almeno un elemento, mentre ∅ a destra non contiene elementi. Ne segue che ∅ non ha controimmagini e verrebbe da scrivere che
f−1(∅)=∅
ma questo implica che f(∅)=∅ che è in contraddizione con f(∅)=∅∪{∅}={∅}.
Dove sbaglio?

Ultima modifica di Ale&Pan il 25/01/2024, 14:23, modificato 1 volta in totale.

Innanzitutto, \(PPA\) ha 4 elementi e tu ne hai elencati 5 (o meglio hai elencato lo stesso insieme due volte); i sottoinsiemi dei sottoinsiemi di \(A=\{a\}\) sono \(\{\varnothing, \{\{a\}\},\{\varnothing\},\{\varnothing, \{a\}\}\}\).

Poi, l'altro problema è che $f$ non è ben definita: \(\{\varnothing\}\) è un elemento di \(PPA\), non di \(PA\). E qualsiasi cosa ottieni da una definizione non ben posta è privo di senso.

Mi scuso, ho commesso alcuni errori nello scrivere, i tuoi appunti sono precisi. Riformulando il problema succintamente, e la soluzione che ho nel frattempo trovato, è così:
A={a}
P(A)={∅,A}
PP(A)={P(A),∅,{∅},{A}}
f:PP(A)-->PP(A) definita da f:X-->X∪{∅}
dalla definizione di f segue
f(∅)={∅}
Un piccolo ragionamento mostra che ∅ non ha controimmagini.
Il problema era che scrivere f-1(∅)=∅ sembrava portare alla contraddizione f(∅)=∅, in contrasto con f(∅)={∅}.
Il problema è risolto dal fatto che f-1(∅)=∅ non implica f(∅)=∅.
Infatti, essendo l'insieme delle controimmagini appunto un insieme, l'implicazione corretta sarebbe, per una f qualunque:
f-1(y)={x} implica f(x)=y
questo risolve il problema
f-1(∅)=∅={} cioè le controimmagini di ∅ sono gli elementi di ∅, cioè non esistono.

Ti ringrazio per la risposta comunque. Potresti suggerirmi come scrivere con il font giusto le formule?