09/09/2023, 17:31
09/09/2023, 18:13
periodo_vettoriano ha scritto:... se hai una matrice a blocchi ...
periodo_vettoriano ha scritto:... la matrice trovata non è a blocchi, quindi non mi attendo sottospazi invarianti.
periodo_vettoriano ha scritto:Per la seconda domanda ...
09/09/2023, 20:12
2) Per la seconda domanda $(f∘f∘f)(x)=f(f(f(x)))=f(f(lambdax)$ per linearità di f è uguale a $lambdaf(f(x)))$ itero ottenendo $f(f(f(x)))=lambda^3x$
D'altra parte moltiplicando le 3 matrici tra loro dimostro che f∘f∘f=Id (infatti esce la matrice I).
Mettendo assieme ho che: $1*x=Id(x)=(f∘f∘f)(x)=lambda^3x$ => $lambda^3=1$ che in effetti è proprio pari al polinomio caratteristico uguagliazo a zero: $p(lambda)=lambda^3-1=0$.
A questo punto uno potrebbe dire ok sono la stessa equazione (il polinomio caratteristico e quella ora trovata) e sono a cavallo, invece no, perché c'è una sottigliezza che vorrei discutere con voi:
quando scrivo il polinomio caratteristico ottengo $lambda^3=1$ e questo ci dice che gli autovalori sono tutti quelli che soddisfano tale equazione (la radice complessa appunto di 1).
OK, quando invece opero $(f∘f∘f)(x)$ io fisso uno dei vari possibili autovettori $x_0$ e trovo $lambda_0$, la nostra equazione ora dice $lambda_0^3=1$, non è che sto trovando i lambda che soddisfano l'equazione, dico che il mio autovalore al cubo -qual che esso sia- darà 1.
In poche parole sto dicendo che:
- il polinomio caratteristico ci dice tutte le lambda che risolvolo l'equazione sono autovalori (per def. di polinomio caratteristico).
- iterare f(f(f))) ci dice invece che ogni autovalore rispetta $lambda_0^3=1$
i precedenti sono due cose diverse fin qui, infatti questa seconda ci dice che ogni autovalore rispetta l'equazione ma potrebbero esserci pure dei valori che escono come soluzione di $lambda^3=1$ ma non sono autovalori!
Non capisco quindi come concludere che ottenuto $lambda_0^3=1$ per ogni autovettore/autovalore rispettivo allora trovo tutti gli autovalori
Per rendere pragmatico il discorso voglio dire mettiamo che assumo uno alla volta tutti gli autovettori x possibili, essi mettiamo che sono tutti con autovalore 1, ora $f^3$ mi dice che vale $1^3=1$, come è giusto che sia. Ma sarebbe sbagliato concludere che gli autovalori sono tutte le radici complesse di $lambda^3=1$ infattti esse potrebbero NON essere autovalori, a mio avviso non posso solo dedurlo da $(f∘f∘f)(x)$ per questi ragionamenti fatti.
10/09/2023, 09:47
10/09/2023, 10:41
Noodles ha scritto:Intanto, volevo precisare che, avendo considerato:$A^3=A$
invece di:$A^3=I$
Inoltre, per quanto riguarda la prima parte del punto 2, anche se non hai avuto problemi:$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]=[[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] rarr A^3=I$
mi sembra che tu stia sostenendo che, mentre vale:$\lambda$ autovalore $rarr \lambda^3=1$
non vale:$\lambda^3=1 rarr \lambda$ autovalore
Onde evitare malintesi sarebbe meglio confermare.
10/09/2023, 17:43
periodo_vettoriano ha scritto:Ammetto che non ho capito dove l'ho scritto ...
10/09/2023, 20:15
10/09/2023, 20:45
periodo_vettoriano ha scritto:... il polinomio minimo non era richiesto ...
10/09/2023, 21:18
Noodles ha scritto:periodo_vettoriano ha scritto:... il polinomio minimo non era richiesto ...
Per quanto mi riguarda, riesco a concludere rigorosamente solo scomodando i contenuti che ho citato nel mio messaggio precedente. Dubito che si possa riuscire a concludere diversamente.
Per quanto riguarda il link, poichè, se l'equazione soddisfatta dalla matrice è di 2° grado:$A^2-A=0$
non è giusto? Per quanto detto?$A^2x=lambda^2x$ e se $A^2=I$ allora $lambda^2=+-1$ (anche in pdf universitari) ma come detto più volte questo dimostra solo che se $lambda$ è autovalore risolve alla $lambda^2=1$ ma non il contrario (cioè che se risolve è certamente autovalore).
10/09/2023, 21:23
Noodles ha scritto:... se vuoi toccare con mano che non hai tutti i torti ...
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