Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
27/05/2023, 13:34
Determinare tutti gli omomorfismi $\phi: \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 $.
Per il primo teorema di omomorfismo $\frac{|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2|}{|\ker_{\phi}| }= |Im_{\phi}|$
1) $|Im_{\phi}| = 1$
allora $|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2| = |ker_{\phi}|$ quindi $\phi(a,b,c) = [0]
\forall (a,b,c) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
2)$|Im_{\phi}| = 2$
allora $|ker_{\phi}| = 8$... come posso continuare?
27/05/2023, 14:40
Dove vanno (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1)?
27/05/2023, 16:52
Gli elementi (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) generano l'intero gruppo perciò per ogni $(a,b,c) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ $\phi((a,b,c))$ è determinato da dove vengono mandati (1,0,0), (0,1,0) e (0,01).
Le uniche combinazioni funzionanti sono:
1) $\phi((1,0,0)) = [0] \quad \phi((0,1,0)) = [0] \quad \phi((0,0,1)) = [0]$
2) $\phi((1,0,0)) = [0] \quad \phi((0,1,0)) = [0] \quad \phi((0,0,1)) = [1]$
3) $\phi((1,0,0)) = [0] \quad \phi((0,1,0)) = [1] \quad \phi((0,0,1)) = [0]$
Ho capito bene?
27/05/2023, 16:58
jontao ha scritto:Ho capito bene?
Perché dici che (1,0,0) deve andare a 0?
Magari hai ragione: non capisco essenzialmente nulla della teoria dei gruppi ecc. ma mi sembra strano.
27/05/2023, 17:40
Se $A,B,C$ sono tre gruppi, un omomorfismo $f: A xx B to C$ è determinato da
$f_A:A to C$ definita da $f_A(a)=f(a,1)$
$f_B:B to C$ definita da $f_B(b)=f(1,b)$
Infatti $f(a,b)=f_A(a)f_B(b)$
Questo determina una funzione iniettiva
$psi: Hom(A xx B,C) to Hom(A,C) xx Hom(B,C)$
$f mapsto (f_A,f_B)$
Se $C$ è abeliano allora $psi$ è anche suriettiva e quindi è biiettiva.
Ovviamente questo si generalizza a un numero qualsiasi (finito) di fattori. Con questa informazione penso che fai presto a concludere.
27/05/2023, 17:57
ghira ha scritto:jontao ha scritto:Ho capito bene?
Perché dici che (1,0,0) deve andare a 0?
Magari hai ragione: non capisco essenzialmente nulla della teoria dei gruppi ecc. ma mi sembra strano.
Il sottogruppo generato dagli elementi mappati a [0] corrisponde a $ker_{\phi}$, ma utilizzando solo (0,1,0) e (0,0,1) non si può avere un sottogruppo di cardinalità 8 o 16
27/05/2023, 21:16
jontao ha scritto:Il sottogruppo generato dagli elementi mappati a [0] corrisponde a $ker_{\phi}$, ma utilizzando solo (0,1,0) e (0,0,1) non si può avere un sottogruppo di cardinalità 8 o 16
Si vede che non capisco niente.
Non puoi mandare (1,0,0) ad 1 per... quale motivo?
Se mandiamo (1,0,0) a 1 gli altri due dove ti pare, perché non è un omomorfismo?
Ammetto che stiamo parlando di cose che non ho mai capito.
Se (1,*,*) e (3,*,*) vanno a 1 e (0,*,*) e (2,*,*) vanno a 0, perché non sarebbe un omomorfismo?
Mi sembra un omomorfismo, ma è possibilissimo che mi stia sbagliando. Non ho mai capito cosa sia un sottogruppo normale, per esempio.
ghira:gruppi::ritardisti:probabilità
28/05/2023, 10:19
Hai ragione...
28/05/2023, 10:58
Seguendo il suggerimento di Martino:
Ci sono due omomorfismi
$f_{\mathbb{Z_4}}: \mathbb{Z_4} \to \mathbb{Z_2}$ e sono:
1) $f_{\mathbb{Z_4}} (1) \to 0$
2) $f_{\mathbb{Z_4}} (1) \to 1$
E due omomorfismi
$f_{\mathbb{Z_2}}:\mathbb{Z_2} \to \mathbb{Z_2}$
1) $f_{\mathbb{Z_2}}(1) \to 0$
2) $f_{\mathbb{Z_2}}(1) \to 1$
(Essendo ciclici basta considerare il loro generatore).
Facendo il loro prodotto cartesiano ci sono quindi 8 omomorfismi che sono determinati da come scegliamo di mandare (1,0,0) (0,0,1) e (0,1,0) in $\mathbb{Z_2}$
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