Terzo teorema di Sylow: chiarimento dimostrazione

Salve, chiedo gentilmente un aiuto nel capire un passaggio di una dimostrazione del terzo teorema di Silow.
Abbiamo $G$ gruppo finito, $H$ un p-Silow.
Sono arrivato al fatto che $(g^{-1}Hg)H=H$. e qui dice: "Quest'ultima uguaglianza è vera se e solo se $g^{-1}Hg \subseteq H$ che equivale a dire $g^{-1} \in N(H)$."
Perché il normalizzatore è definito come $N(H) = \{ g \in G | gHg^{-1}=H \}$ con l'$=$, mentre nella dimostrazione usa $\subseteq$? Non dovrebbe essere $=$?

Siccome $G$ è finito, dire $g^(-1)Hg subseteq H$ è equivalente a dire $gHg^(-1)=H$ (sai spiegare perché?).

Se $G$ fosse infinito, l'inclusione di cui parli potrebbe essere propria (sai trovare un esempio di ciò?).

Siccome $ G $ è finito, dire $ g^(-1)Hg subseteq H $ è equivalente a dire $ gHg^(-1)=H $ (sai spiegare perché?).

Se $ G $ fosse infinito, l'inclusione di cui parli potrebbe essere propria (sai trovare un esempio di ciò?).

Grazie Martino della risposta,
per il primo punto ho pensato che se $g^{-1}Hg \subseteq H$ allora possiamo costruire l'azione per coniugio $a: G \times H \rightarrow H$ definita come segue: $(g^{-1}, h) \mapsto g^{-1}hg$. Dunque l'applicazione $\phi_{g^{-1}}: H \rightarrow H$ definita come: $h \mapsto g^{-1}hg$ è bigettiva e quindi $H=g^{-1}Hg$, da cui $H=gHg^{-1}$. Non mi sembra però di utilizzare il fatto che $G$ sia finito e quindi temo che ci sia un errore nel mio ragionamento.
Non riesco infatti a risolvere il secondo punto.

l'applicazione $\phi_{g^{-1}}: H \rightarrow H$ definita come: $h \mapsto g^{-1}hg$ è bigettiva

Iniettiva lo è di sicuro, ma come dimostri che è suriettiva?

Vedi qui.

l'applicazione $\phi_{g^{-1}}: H \rightarrow H$ definita come: $h \mapsto g^{-1}hg$ è bigettiva

Iniettiva lo è di sicuro, ma come dimostri che è suriettiva?

Vedi qui.

Grazie Martino, mi fai sorgere un dubbio sulla correttezza o sulla mia comprensione della seguente dimostrazione:
"Sia $G$ un gruppo che agisce su un insieme $X$ e sia $g \in G$.
L’applicazione $\phi_g : X → X $ tale che \(\displaystyle \phi_g{(x)}= g \cdot x \) è bigettiva.
Dimostrazione. L’applicazione $\phi_g$ è surgettiva perché preso $x \in X$ si ha che $g^{-1} \cdot x \in X$ viene mandato da $\phi_g$ in $x$ in quanto:
\(\displaystyle \phi_g(g^{-1} \cdot x)=g \cdot g^{-1} \cdot x = (gg^{-1}) \cdot x = x \).
[...]"
Forse il problema è che nessuno ci assicura che $g^{-1} \cdot x \in X$?

No, $g^(-1) x$ appartiene a $X$ per definizione di azione.

Il tuo caso è diverso perché hai delle ipotesi relative a un unico elemento fissato $g$. Nel tuo caso, $G$ non agisce su $H$ per coniugio, la tua unica ipotesi è che $g^(-1)Hg subseteq H$ per un certo fissato $g in G$. Se definisci $phi:H to H$, $phi(h)=g^(-1)hg$ e poi cercando di mostrare che è suriettiva prendi $k in H$, la sua unica controimmagine possibile è $gkg^(-1)$ perché $phi(gkg^(-1))=k$ e $phi$ è iniettiva. D'altra parte nessuno ti garantisce che $gkg^(-1)$ appartenga a $H$ perché la tua ipotesi è $g^(-1)Hg subseteq H$. Questa è la tua unica ipotesi.

Sarebbe diverso se dicessi la cosa seguente, che è vera (e facile da dimostrare): "se $g^(-1)Hg subseteq H$ per ogni $g in G$ allora $g^(-1)Hg=H$ per ogni $g in G$". Nota il quantificatore!

Comunque non hai ancora risposto alla domanda principale, che riguarda il caso finito. Se $H$ è finito la $phi$ di cui sopra è biiettiva, sai dimostrarlo?

No, $ g^(-1) x $ appartiene a $ X $ per definizione di azione.

Il tuo caso è diverso perché hai delle ipotesi relative a un unico elemento fissato $ g $. Nel tuo caso, $ G $ non agisce su $ H $ per coniugio, la tua unica ipotesi è che $ g^(-1)Hg subseteq H $ per un certo fissato $ g in G $. Se definisci $ phi:H to H $, $ phi(h)=g^(-1)hg $ e poi cercando di mostrare che è suriettiva prendi $ k in H $, la sua unica controimmagine possibile è $ gkg^(-1) $ perché $ phi(gkg^(-1))=k $ e $ phi $ è iniettiva. D'altra parte nessuno ti garantisce che $ gkg^(-1) $ appartenga a $ H $ perché la tua ipotesi è $ g^(-1)Hg subseteq H $. Questa è la tua unica ipotesi.

Sarebbe diverso se dicessi la cosa seguente, che è vera (e facile da dimostrare): "se $ g^(-1)Hg subseteq H $ per ogni $ g in G $ allora $ g^(-1)Hg=H $ per ogni $ g in G $". Nota il quantificatore!

Comunque non hai ancora risposto alla domanda principale, che riguarda il caso finito. Se $ H $ è finito la $ phi $ di cui sopra è biiettiva, sai dimostrarlo?

Se $G$ finito, allora $H \leq G$ finito. Quindi dato che $g^{-1}Hg = \{ g^{-1} h g \ | \ h \in H \}$, si ha che l'elemento generico $g^{-1}hg \in H$. Facendo scorrere tutti gli $h \in H$ sugli elementi dell'insieme $g^{-1}Hg$, troviamo tutto $H$. Quindi $g^{-1}Hg=H$.
E' corretto?
Alla domanda principale non riesco ancora a rispondere.

Se $G$ finito, allora $H \leq G$ finito. Quindi dato che $g^{-1}Hg = \{ g^{-1} h g \ | \ h \in H \}$, si ha che l'elemento generico $g^{-1}hg \in H$. Facendo scorrere tutti gli $h \in H$ sugli elementi dell'insieme $g^{-1}Hg$, troviamo tutto $H$. Quindi $g^{-1}Hg=H$.
E' corretto?

Non ho capito la dimostrazione. Mi sembra più semplice osservare che se $A,B$ sono insiemi finiti della stessa cardinalità $n$, e $f:A to B$ è una funzione iniettiva, allora $f$ è necessariamente suriettiva poiché la sua immagine $f(A)$ è un sottoinsieme di $B$ di cardinalità $n$. Siccome anche $B$ ha cardinalità $n$, abbiamo che $f(A)=B$. Qui ho usato una proprietà degli insiemi finiti (che non vale per insiemi infiniti) che è la seguente: se $Y$ è un insieme finito e $X$ è un sottoinsieme di $Y$ della stessa cardinalità di $Y$, allora $X=Y$. Questo tipo di proprietà è spesso presa come definizione di insieme finito ("un insieme si dice finito se non possiede sottoinsiemi propri della sua stessa cardinalità") ed è legata al principio dei cassetti o pigeonhole principle (prova a fare una ricerca).

Alla domanda principale non riesco ancora a rispondere.

A me pare che abbiamo risposto. Se la cosa non è ancora chiarita, allora non ho ben capito quale fosse la domanda principale.

Grazie Martino,
sai semplificarmi la vita