19/07/2013, 12:58
Siano \(I\) un intervallo e \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \(I\) e derivabile nell'interno di \(I\).
Se \(f^\prime (x)=0\) internamente ad \(I\) allora \(f\) è costante i \(I\), cioé esiste \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(f(x)=c\) in tutto \(I\).
Siano \(I\) un insieme che soddisfa la (H) e \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \(I\) e derivabile nell'interno di \(I\).
Se \(f^\prime (x)=0\) internamente ad \(I\) allora \(f\) è costante i \(I\), cioé esiste \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(f(x)=c\) in tutto \(I\).
Siano \(I\) in insieme non vuoto, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un p.d.a. per \(I\).
Si dice che \(f\) è continua in \(x_0\) se risulta:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) =f(x_0)\; .
\]
Se \(x_0\) è interno, si dice che \(f\) è derivabile in \(x_0\) se risulta finito il:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ;
\]
in tal caso il valoe di tale limite si chiama derivata di \(f\) in \(x_0\) e si denota con \(f^\prime (x_0)\).
[/quote]Siano \(I\) un insieme non vuoto, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un punto interno.
Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f\) è continua in \(x_0\).
Moderatore: gugo82
19/07/2013, 12:59
19/07/2013, 14:14
Una funzione \(f\) continua in un punto \(x_0\) interno ad \(X\) è continua in tutto un intorno di \(x_0\).
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme non vuoto, \(f:X\to \mathbb{R}\) e \(x_0\in X\).
Si dice che \(f\) è continua in \(x_0\) se essa soddisfa la seguente proprietà:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in X\cap ]x_0-\delta, x_0+\delta[,\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \; .
\]
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme non vuoto ed \(f:X\to \mathbb{R}\).
Si dice che la \(f\) è continua in \(X\) se essa è continua in ogni punto di \(X\) (a norma della definizione data all'inizio).
22/07/2013, 16:05
27/07/2013, 06:31
28/07/2013, 23:36
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme aperto non vuoto, \(f:X\to \mathbb{R}\) e \(x_0\in X\).
Si dice che \(f\) è derivabile in \(x_0\) se esiste ed è finito il:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; .
\]
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme aperto non vuoto ed \(f:X\to \mathbb{R}\).
Si dice che la \(f\) è derivabile in \(X\) se essa è derivabile in ogni punto di \(X\) (a norma della definizione data sopra).
03/08/2013, 00:05
Sia $D$ $sube$ $RR$ ed $f: D \to RR$ una funzione. Sia $c$ interno a $D$; se esiste un intorno $(c-\delta,c+\delta)$ di $c$ t.c.:
- $f$ sia decrescente in $(c-\delta,c)$ e crescente in $(c,c+\delta)$ allora c è minimo locale;
- $f$ sia crescente in $(c-\delta,c)$ e decrescente in $(c,c+\delta)$ allora c è massimo locale.
03/08/2013, 10:30
Per semplicità, sia \(n=1\) allora tutti gli intervalli chiusi e limitati di \(\mathbb{R}\) sono compatti; però non tutti i sottoinsiemi compatti di \(\mathbb{R}\) sono gli intervalli chiusi e limitati!Teorema di Borel - Heine - Lebesgue - Pincherle:
Un sottoinsieme \(K\) di \(\mathbb{R}^n\) (con la topologia naturale) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Ma questo teorema è falso, come mi appresto a dimostrare considerando l'insieme di Cantor.Un sottoinsieme \(K\) di \(\mathbb{R}\) è compatto se e solo se è una unione finita di intervalli chiusi e limitati.
Richiamato il seguente teorema di topologia:Un sottoinsieme \(K\) di \(\mathbb{R}^n\) (con la topologia naturale) è compatto se e solo se è l'unione finita di pluri-rettangoli chiusi e limitati.
e considerando il prodotto di \(n\) copie dell'insieme di Cantor, si ha un insieme compatto che non contiene alcun pluri-rettangolo.Il prodotto (topologico) di finiti(2) insiemi è compatto se e solo se ogni insieme fattore è compatto
06/09/2013, 09:06
in conseguenza: se si deve studiare un forma differenziale su un insieme aperto connesso non ci sono problemi rispetto alla connessione per archi.Teorema di caratterizzazione degli insieme aperti connessi in \(\displaystyle(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{nat})\):
Un insieme aperto \(\displaystyle A\) in \(\displaystyle(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{nat})\) è connesso se e solo se è connesso per cammini.
quindi \(\displaystyle]0;+\infty[\) è un insieme aperto connesso per cui è un insieme connesso per archi, allora \(\displaystyle X\) è un insieme connesso per cammini in quanto immagine3 della funzione continua:
si ha che \(\displaystyle\overline{X}\) è un insieme connesso; tale è il serpente topologico.Sia \(\displaystyle X\) un sottoinsieme conneso in uno spazio topologico \(\displaystyle(S;\mathcal{T})\), allora la sua chiusura \(\displaystyle\overline{X}\) è un insieme connesso.
08/03/2014, 13:28
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