kobeilprofeta ha scritto:Ho visto che zero87ato gli "zeri" di una serie... Mi sapreste dire come ricavarli? Banali o non... Grazie
Aggiungo il "
" sul "zero87ato", che non riesco a decifrare ma che suppongo abbia capito cosa vuoi dire.
Il punto è che in matematica ci sono alcune serie molto conosciute e studiate ma che hanno strani collegamenti con altrettante serie che consentono di ampliare gli orizzonti.
L'esempio che posso farti è quello di cui abbiamo parlato a lungo, cioè la serie
$\sum_(n=1)^\infty 1/(n^x)$
che converge solamente per $x>1$. Essa è chiamata serie armonica.
Lasciamo perdere il perché di questa convergenza e come si trova, fidiamoci per ora e andiamo avanti. Ci sono dei teoremi di analisi I che mostrano che, al variare di $x$ (ovviamente nell'intervallo di convergenza) una serie convergente - sotto determinate condizioni - ha come somma una funzione continua o derivabile o caratteristiche ancora più forti.
Posso dire di fidarti - anche se non dovrei cavarmela così a buon mercato, ma d'altro canto certe cose le farai presto se continuerai con la matematica (stai in quinto superiore se non ho capito male) - mostrando che, ad esempio
$1+1/2^x+1/3^x+1/4^x$
è una funzione continua (e derivabile tra l'altro!), magari difficilmente immaginabile, ma comunque è pur sempre una funzione con tante proprietà: puoi aiutarti con wolframalpha se vuoi.
Quella funzione è il troncamento della serie che abbiamo preso come esempio, tuttavia andando avanti all'infinito anche quella serie ha come somma una funzione continua.
$\sum_(n=1)^\infty 1/n^x = \zeta(x)$
definita per $x>1$.
La funzione $\zeta(x)$ per $x$ reale viene chiamata - anche se viene chiamata piuttosto raramente perché è stata rapidamente offuscata dalla una funzione molto più famosa che parte da questa... ci arrivo tra poco - funzione $\zeta$ (di Eulero).
E' difficile immaginare cosa possa dare come funzione una somma di esponenziali, addirittura infinita, ma comunque per $x>1$ abbiamo una funzione continua e derivabile (tra l'altro $C^\infty$).
Riemann ha pensato (bene direi) di estendere questa funzione, dunque questa serie, ai numeri complessi, ottenendo la sua zeta: ma mi fermo qui dicendo solo che questa frase è il "ci arrivo tra poco" che ho detto poco fa.
Torniamo ai reali, senza complicarci troppo la vita. Come detto esistono tante serie, alcune di esse hanno anche legami particolari con altrettante serie e si possono esprimere in funzione di altre serie.
caos81, ad esempio, ha scritto in questo thread (per i numeri complessi, ma restiamo
sui reali)che
$\zeta(x)= \frac{\eta(x)}{1-2^(1-x)}$
dove la funzione eta si chiama funzione "eta di Dirichlet" (non ti consiglio di cercarla su wiki perché mi sa che parte direttamente con i complessi, però fai come vuoi!
) e, per $x$ reale, equivale alla somma di quest'altra serie
$\eta(x)=\sum_(n=1)^\infty \frac{(-1)^(k-1)}{k^x}$
definita per $0<x<1$.
Qui mi fermo e arrivo a darti qualche lume su quanto chiedi nell'ultimo post, cercando di essere il più chiaro possibile, o almeno a portata delle scuole superiori.
1.
Alle superiori si dice sempre - pensa agli studi di funzione - "l'esponenziale è una funzione sempre positiva". L'analisi complessa insegna (ti insegnerà se la farai
) che questa cosa non è vera se non siamo più nei reali.
Si dovrebbe dire "l'esponenziale reale è una funzione che assume sempre valori positivi" per poi continuare (non alle superiori) "laddove l'esponenziale complesso assume anche valori negativi".
L'esempio sfavillante è la formula di Eulero: $e^(i\pi)=-1$ che è negativo! Un esponenziale negativo, ragazzi!
2.
E' difficile, soprattutto per gli studenti delle superiori, immaginare cose che richiedono una dose di astrattismo non trascurabile. La più difficile - secondo me - è la cardinalità e mi pare che eri tu che parlavi di cardinalità qualche tempo fa (a parte che inizio a confondere gli utenti... la vecchiaia si fa sentire), ma anche per le serie non è un passo banale.
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
per $x>1$ definisce una funzione, è una funzione (nella fattispecie chiamata "zeta di Eulero"). Le serie di funzioni non sono altro che somme infinite di funzioni e se convergono definiscono una funzione, poi occorre verificare se questa funzione abbia o meno determinate proprietà ma questa è un'altra storia.
La serie di Taylor è una funzione: dire (in questo caso per ogni $x$, ricordando che si pone $0! =1$)
$e^x = \sum_(n=0)^\infty \frac{x^n}{n!}$
è un'uguaglianza che mi dice che l'esponenziale è definito come quella somma al secondo membro.
Ti faccio vedere anche un'altra cosa che dovresti capire, ma che comunque ci provo. Diciamo - anche se non è proprio così (o almeno non sempre) - che la derivata di una serie è somma della derivata di ogni termine, in altre parole diciamo che continua a valere la proprietà di derivazione di una somma anche per somme infinite. Dunque (con la "D(...)" indico che sto derivando l'interno delle parentesi)
$D(\sum_(n=0)^\infty \frac{x^n}{n!}) = \sum_(n=0)^\infty D(\frac{x^n}{n!})$
il termine corrispondente a $n=0$, cioè $x^0/(0!)$ equivale a $1$ e la sua derivata è nulla, dunque lo togliamo (ricordiamo che la serie è pur sempre una somma quindi si può isolare un termine togliendolo dal resto)
$\sum_(n=0)^\infty D(\frac{x^n}{n!})=\sum_(n=1)^\infty D(\frac{x^n}{n!})= \sum_(n=1)^\infty \frac{n x^(n-1)}{(n)!}= \sum_(n=1)^\infty \frac{x^(n-1)}{(n-1)!}$
in quest'ultimo ho semplificato $n$ con $n!$ ricordando che $n! =n\cdot (n-1)!$.
Poniamo, ora, $k=n-1$ otteniamo
$\sum_(n=1)^\infty \frac{x^(n-1)}{(n-1)!}=\sum_(k=0)^\infty \frac{x^(k)}{(k)!}=e^x$
cioè, a parte gli indici diversi (puoi nuovamente richiamare $n$ il $k$ così ottenuto), abbiamo dimostrato che la derivata di $e^x$ è $e^x$ tramite la sua definizione come serie...
3.
In analisi complessa, a parte l'esponenziale, ci sono molte cose studiate alle superiori che sembrano andare a farsi friggere e te ne accorgerai se la incontrerai sulla tua strada. Ora ho detto "sembrano" proprio perché è un'apparenza dovuta anche al fatto che l'insieme dei complessi è un ampliamento di quello dei reali. E' come quando si dice che la divisione è definita solo poche volte in $\ZZ$ proprio perché in $\ZZ$ non sono concepite le frazioni!
Comunque, una di queste cose sarà il teorema fondamentale dell'algebra che dirà, ad esempio, che
$s^2+s+1=0$
ha 2 soluzioni complesse quando invece non ne ha nessuna in campo reale.
In particolar modo, $e^x+1=0$ non ha soluzioni in campo reale - proprio perché l'esponenziale (reale) è sempre positivo - ma in realtà ha (infinite) soluzioni in campo complesso e una di queste è il $i\pi$ della già citata formula di Eulero.
Concludo dicendo dunque che in campo complesso, la funzione definita dalla serie che abbiamo preso come esempio, opportunamente ampliato/esteso/definito con altre serie come detto da me e da caos81, ha degli zeri. In realtà, se andiamo ad ampliare tale funzione per tutto il piano complesso e non solo per $Re(s)\ge 0$ c'è un gruppo (infinito) di zeri detti "zeri banali".
Ma ora lascio perdere perché penso che ho risposto abbastanza alle tue domande e se vado avanti con l'analisi complessa ho paura che non ci capisci moltissimo...
