l'ordine dei numeri primi

[gianpierovignola]

Salve a tutti,
i numeri primi come detto in altre mie discussioni sono diventati un hobby per me e finalmente ho trovato qualcosa di interessante che non sapevo e di cui non ho trovato spiegazioni su internet: un loro "ordine" regolare che non viene contraddetto da nessuna delle regole ai primi legate anzi ne da una dimostrazione alternativa come ad esempio il fatto che tutti i primi sono nella forma 6k+-1, oppure che sono infiniti o perchè diminuiscono man mano che andiamo avanti, ecc. Non so, magari è una cosa banale ma per me resta sempre una scoperta personale (l'ho chiamata "metodo dello specchio"). Prima di darvene una dimostrazione, magari dettagliata e con delle immagini, vorrei sapere da voi quali sono le principali "scoperte" fatte sui numeri primi fino ad oggi, quali sono dimostrate e quali no. Preferisco che non mi mettiate link tipo "Wikipedia" quelli so cercarmeli da solo; ho 16 anni perciò potete immaginare il mio livello di istruzione anche se sono molto portato per la matematica in genere... in particolare sarei interessato all'Ipotesi di Riemann della quale non ho mai trovato una spiegazione più abbordabile (vi prego non rispondetemi che non posso capirla potrei provarci...)

[chisigma]

Salve a tutti,
i numeri primi come detto in altre mie discussioni sono diventati un hobby per me e finalmente ho trovato qualcosa di interessante che non sapevo e di cui non ho trovato spiegazioni su internet: un loro "ordine" regolare che non viene contraddetto da nessuna delle regole ai primi legate anzi ne da una dimostrazione alternativa come ad esempio il fatto che tutti i primi sono nella forma 6k+-1, oppure che sono infiniti o perchè diminuiscono man mano che andiamo avanti, ecc. Non so, magari è una cosa banale ma per me resta sempre una scoperta personale (l'ho chiamata "metodo dello specchio"). Prima di darvene una dimostrazione, magari dettagliata e con delle immagini, vorrei sapere da voi quali sono le principali "scoperte" fatte sui numeri primi fino ad oggi, quali sono dimostrate e quali no. Preferisco che non mi mettiate link tipo "Wikipedia" quelli so cercarmeli da solo; ho 16 anni perciò potete immaginare il mio livello di istruzione anche se sono molto portato per la matematica in genere... in particolare sarei interessato all'Ipotesi di Riemann della quale non ho mai trovato una spiegazione più abbordabile (vi prego non rispondetemi che non posso capirla potrei provarci...)

Quando aveva la tua stessa eta' il matematico tedesco Karl Friedrich Gauss a proposito dei numeri primi fece una 'scoperta' sicuramente di grande portata: dato un numero n qualsiasi la probabilita' che fosse primo e' circa uguale all'inverso del suo logaritmo, cioe' e' $p_{n} \approx \frac{1}{\ln n}$ e da cio' derivava che, indicando con $\pi(n)$ il numero di primi compresi nell'intervallo da 2 a n, e'...

$\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n)$ (1)

Personalmente ti faccio i migliori auguri di divenire un nuovo Gauss ma per fare questo e' necessario non limitarsi a leggere il gran materiale che Internet mette a disposizione [un prezioso ausilio di cui Gauss ovviamente non disponeva...] ma anche e soprattutto approfondire, cosa che, a giudicare da alcune imprecisioni contenute nel tuo scritto, forse fai poco. Come diceva lo stesso Gauss Pauca sed matura...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Zero87]

in particolare sarei interessato all'Ipotesi di Riemann della quale non ho mai trovato una spiegazione più abbordabile (vi prego non rispondetemi che non posso capirla potrei provarci...)

Va bene, non rispondo che non puoi capirla. Sicuramente ti ho risposto io così in un altro thread (eri tu?), ma ho avuto una motivazione e non ti ho detto questo per darti dell'ignorante o altro.
Proverò comunque a mettere insieme qualcosa... da tesista recente sull'argomento .

Premessa "necessaria".
La mia spiegazione è "da bar" quindi so che in ogni parola dovrei mettere almeno 2 pagine di precisazioni a livello universitario.

1.
Cominciamo con i numeri complessi che forse potresti aver già incontrato.
L'insieme dei numeri complessi si può descrivere in un migliaio di modi differenti, ma il più utilizzato è dire che
"un numero complesso $z$ è del tipo $z=x+iy$ dove $x,y \in \RR$ e $i$ è l'unità immaginaria".
L'insieme dei numeri complessi si indica con $\CC$.
Per essere più puntigliosi posso anche dirti che nel complesso $z$, $x$ è detta parte reale di $z$ mentre $y$ è detta parte immaginaria.

2.
Le funzioni di variabile complessa sono come (all'incirca ) quelle di variabile reale, almeno in prima analisi.
Cos'è una funzione di variabile reale?
E' un'applicazione che associa ad un elemento di $A\subseteq \RR$ un unico elemento di $B\subseteq \RR$: poi sappiamo benissimo che $A,B$ possono essere limitati/illimitati/tutto $\RR$, ecc...
Cos'è una funzione di variabile complessa?
E' un'applicazione che associa ad un elemento di $E\subseteq \CC$ un unico elemento di $F \subseteq \CC$. In modo simile alle funzioni di variabile reale si può definire continuità\derivabilità, ecc...
Tuttavia, come detto nel punto 1, un numero complesso è composto da 2 componenti e questo complica in maniera assurda le cose... e lascio perdere.

3.
Con il termine serie si indica una somma infinita di termini. Non so né se hai fatto le serie, né se hai fatto le sommatorie, però ci provo.
Diciamo che
$\sum_(i=m)^n a_i = a_m + a_(m+1) + a_(m+2) + ... + a_(n-1) + a_n$
In pratica quella sopra detta "sommatoria degli $a_i$ (che possono essere numeri/funzioni, quello che vuoi) per $i$ che va da $m$ a $n$" (con $m < n$ logicamente).
Un altro esempio tanto per capire
$\sum_(i=2)^5 x^i = x^2 + x^3 + x^4 + x^5$.
Quando la somma è infinita... è infinita! Come posso dirti se non hai fatto limiti e/o altro? Diciamo che va sempre avanti e non termina mai... uhm... non va molto...
$\sum_(i=0)^\infty = 1+x+x^2+x^3+...+x^n+...$
Questa serie ha un nome particolare che ora ho paura di sbagliare (serie geometrica?), però non è questo che conta, ho solo fatto un esempio. PS. $x^0 =1$...

4.
Consideriamo la seguente serie.
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x} = 1+1/(2^x) + 1/(3^x) + ... + 1/(n^x) + ...$
Tale serie è detta serie armonica ed è definita solo per $x>1$.
Dire "è definita solo per $x>1$" intendila come fosse una funzione. Pensa a $log(x)$ che è definito solo per $x>0$.
In realtà, infatti, la somma di questa serie - dov'è definita - è una funzione con certe proprietà che non vado a sottilizzare. Si definisce, dunque,
$\zeta(x) = \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
dove questa funzione "zeta" definita come somma della serie armonica dov'è definita (pardon per il gioco di parole) è detta "(funzione) zeta di Eulero".

5.
Riemann ha esteso la zeta in vari modi.
Inizialmente ha considerato questa
$\zeta(z) = \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^z}$
dove stavolta $z\in \CC$ e cioè $z = x+iy$. Per motivi che non sto ad elencare, la zeta (di Riemann) così definita vale solo per $x>1$ ($y\in \RR$).
In seguito ha detto qualcosa tipo (io me lo immagino pure ) "ma non posso trovarne una definizione più ampia?"
Ha trovato varie rappresentazioni sfruttando regole di analisi complessa che è inutile elencare giungendo alla sua $\zeta(z)$ che non è quella di partenza, ma una funzione che per $x>1$ è quella di partenza, ma in realtà vale anche per $x<1$.

6.
Per altri mille motivi che tralascio, si può dimostrare che $\zeta(z)$ ha infiniti zeri e che questi zeri sono divisi in 2 gruppi
- zeri detti "banali" in prossimità di interi negativi pari (sul termine banali la spiegazione più facile è che si annulla "banalmente" il seno nell'equazione funzionale... ma qui lascio perdere sennò complico!)
- zeri detti "non banali" che possono esistere solo nella zona $0<x<1$ detta "striscia critica" (dall'inglese critical strip).

Riemann allora ha congetturato che tutti gli zeri non banali siano lungo la retta $x=1/2$ - detta "retta/linea critica" (dall'inglese critical line, ricordo $y\in \RR$) e questa è l'ipotesi di Riemann (non proprio questa perché lui parla anche di $\xi$ e altre robe assurde)...

Conclusione

Io ci ho provato a metterla da bar, ma come ti ho sicuramente detto, ci sono conoscenze assolutamente necessarie da padroneggiare come, ad esempio, limiti, continuità e almeno un pizzico di numeri complessi...

[chisigma]

... proverò comunque a mettere insieme qualcosa... da tesista recente sull'argomento ...

... la mia spiegazione è "da bar" quindi so che in ogni parola dovrei mettere almeno 2 pagine di precisazioni a livello universitario...

... si può dimostrare che $\zeta(z)$ ha infiniti zeri e che inoltre questi zeri possono esistere solo nella zona $0<x<1$ detta "striscia critica". Riemann allora ha congetturato che tutti questi zeri siano lungo la retta $x=1/2$ (ricordo $y\in \RR$) e questa è l'ipotesi di Riemann...

I miei 'studi' sulla funzione di Riemann non sono molto 'recenti' ma, se la memoria non mi inganna, la $\zeta(s)$ [lo stesso Riemann ritenne opportuno usare la lettera s per indicare la variabile complessa indipendente per l'evidente 'dissonanza' dell'espressione 'funzione zeta di zeta'...] ha infiniti zeri sull'asse reale negativo, ovvero per $s=- 2 n, \ n \in \mathbb{N}$ e questi, per distinguerli dagli zeri contenuti nella 'fascia critica' , sono comunemente denominati 'zeri banali'...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Zero87]

I miei 'studi' sulla funzione di Riemann non sono molto 'recenti' ma, se la memoria non mi inganna, la $\zeta(s)$ [lo stesso Riemann ritenne opportuno usare la lettera s per indicare la variabile complessa indipendente per l'evidente 'dissonanza' dell'espressione 'funzione zeta di zeta'...] ha infiniti zeri sull'asse reale negativo, ovvero per $s=- 2 n, \ n \in \mathbb{N}$ e questi, per distinguerli dagli zeri contenuti nella 'fascia critica' , sono comunemente denominati 'zeri banali'...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

La scelta da parte mia di scrivere $\zeta(z)$ è solo per non dire, ad un certo punto, $\zeta(s)$ ed estrerre dal nulla $s= \sigma + it$ .

In fondo, se stai studiando Riemann, sai che nel suo articolo utilizza notazioni parecchio inusuali come $\alpha \alpha$ al posto di $\alpha^2$, ma soprattutto $f(x)$ invece di $J(x)$ (sapendo che con $f$ in matematica si utilizzano funzioni "generiche"...).

Gli zeri banali... Sì, esatto, mi ero dimenticato e ora correggo
... anche perché da tesista recente sull'argomento ci avrei fatto una figuraccia!

[Delirium]

Questo dovrebbe tenerti impegnato per i prossimi 4/5 anni...

[gianpierovignola]

Io ci ho provato a metterla da bar, ma come ti ho sicuramente detto, ci sono conoscenze assolutamente necessarie da padroneggiare come, ad esempio, limiti, continuità e almeno un pizzico di numeri complessi...

Insomma ho capito più o meno ma forse più meno che più, forse hai ragione tu ci sono tante cose che ancora non so (e che di sicuro in futuro saprò) necessarie per capire... Caspita a quanto pare la matematica che facciamo noi in terzo superiore è una barzelletta in confronto a questa

(stessa risposta ho dato nell'altro post)

[Zero87]

Ovviamente ad ogni livello di scuola c'è un certo livello di matematica. Uno che fa le medie penserà che la matematica delle superiori è impossibile così come uno che fa le superiori penserà che è impossibile quella universitaria...

Quando io e altri (non ricordo chi) in vari post abbiamo detto che per certi argomenti servono alcune conoscenze davvero imprescindibili - mi sento di dire "limiti/continuità", "un pizzico almeno di numeri complessi" -, non te lo abbiamo detto per prenderti in giro o altre cose ignobili che in questo forum dovremmo tenere lontane.

Se ti capita, in quarto/quinto superiore, dopo aver fatto limiti/continuità/derivabilità sono sicuro che capirai ancora di più questo post e penso che dopo Analisi I (qualora fai qualcosa di scientifico all'università) lo capirai quasi tutto.

Comunque non smorzare l'entusiasmo per una materia splendida quale la teoria dei numeri!


PS. Grazie per quello che hai detto nell'altro post!
Anche io penso che questo sia un forum splendido popolato da persone meravigliose (sennò non mi iscrivevo ).

[gianpierovignola]

a questo indirizzo è disponibile il download di un pdf che ho preparato in cui illustro la mia "teoria dello specchio" riguardante i numeri primi... potrebbe essere una cosa banalissima e magari inutile ma gradirei che voi lo guardiate per magari consigliarmi approfondimenti o correzioni GRAZIE http://www.1-clickshare.com/2750144326

[Zero87]

Non ci sono correzioni.

Quello che non vorrai sentirti dire è che le tue osservazioni si spiegano (anche se non mi viene in mente una spiegazione "precisa precisa"). Diciamo, però, che in gran parte c'è lo zampino del crivello di Eratostene.

Per il resto, però, non vale quello che dici sempre e ti do un controesempio: il controesempio consiste... nell'andare avanti solo di un altro passo.

Cioè $2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ che lo hai detto alla fine.

Lo "specchio" è 105. Quindi il simmetrico di $89$ è $121$. Puoi notare che $89$ è primo mentre $121$ no...

Il fatto che lo "specchio" non funzioni più dal passo successivo in poi, si spiega semplicemente osservando che il MCD dei primi che consideri diventa maggiore del quadrato del primo successivo.

Ora, come detto, non ho parole "tecniche", solo un po' di considerazioni che ho messo.

Però, come ti ho detto in altri post, non perdere l'entusiasmo perché comunque una scoperta personale - anche se non lo è o anche se non vale andando avanti - è pur sempre una soddisfazione.