I numeri primi Ipotesi di Riemann

[gianpierovignola]

da qualche giorno mi sto dedicando ad uno studio sui numeri primi e non ho capito bene cos'è l'Ipotesi di Riemann, cosa afferma? che sono gli "zeri" di cui parla? cos'è la linea critica? ho 16 anni e non sono molto esperto con la simbologia perciò preferirei una spiegazione teorica con degli esempi se possibile. Grazie in anticipo

[Demostene92]

Hai fatto i numeri complessi?

[Seneca]

Non conosco bene l'argomento. Fossi in te, però, aspetterei di avere un po' più di conoscenze per approfondire questi argomenti (tipo la zeta di Riemann $\zeta$ ).

[Zero87]

da qualche giorno mi sto dedicando ad uno studio sui numeri primi e non ho capito bene cos'è l'Ipotesi di Riemann, cosa afferma? che sono gli "zeri" di cui parla? cos'è la linea critica?

Domanda da un milione di dollari (e non sto scherzando, questo "milione" c'è davvero in palio per chi la risolve) .

Il punto è questo: da interessato e tesista sull'argomento (a memoria, ricordo che lorin stava facendo la tesi sull'ipotesi di Riemann oltre a zetafunction che ha anche il nick appropriato ), purtroppo devo darti una risposta parzialmente negativa.

In un altro post, dici che sei al terzo anno del liceo scientifico. Per quanto posso impegnarmi a darti qualche dritta, ci sono concetti base che, purtroppo, sono imprescindibili: limiti, continuità, derivate, integrali e numeri complessi.

Non te lo dico per farti mollare o per farti venire la nausea... tutt'altro. In quinto liceo (scientifico) ho sentito dire di tale ipotesi e ho giurato a me stesso che ne avrei fatto l'argomento per la tesi della magistrale in matematica. Pare che ci sto riuscendo...

Secondo me, inoltre, dovresti avere anche un certo livello di "astrattismo" che si acquisisce andando avanti nello studio. Non è che voglio smontarti, tutt'altro, però purtroppo alcune conoscenze basilari sono davvero imprescindibili.

Posso consigliarti il seguente
<<John Derbyshire. Prime Obsession. Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. Joseph Henry Press, Washington D.C. 2003.>>
E' uno dei pochi - anzi l'unico - che parte da queste conoscenze basilari per arrivare a qualcosa di veramente utile nella comprensione di tale argomento. Una scelta più romantica è "L'enigma dei numeri primi" di Du Satoy che è scritto meravigliosamente bene, dà assuefazione ma poi alla fine lascia più domande che risposte...

[gugo82]

@ gianpiero: Purtroppo a quest'età non hai ancora gli strumenti adatti a capire appieno i risvolti della faccenda: ti mancano le conoscenze di base di Calcolo Differenziale e di Analisi Complessa, purtroppo.

Ad ogni modo, l'idea del problema è la seguente.

Esiste questa funzione complessa di variabile complessa chiamata \(\zeta (s)\).
Essa è definita in maniera "tranquilla" per i numeri complessi \(s=\sigma +\imath\ \varsigma\) aventi parte reale \(\sigma >1\); però tale funzione, mediante un certo procedimento di "prolungamento", può essere definita anche per numeri complessi che hanno parte reale \(\sigma \leq 1\)... Tuttavia la \(\zeta (s)\) non può essere mai definita per \(s=1+\imath\ 0=1\) in maniera "sensata".*
Per capire meglio, immagina di identificare il generico numero complesso \(s=\sigma +\imath\ \varsigma\) col punto del piano cartesiano di coordinate \((\sigma ,\varsigma)\), cioè scegli di porre \(s=(\sigma, \varsigma)\). In tal modo puoi anche pensare che la funzione \(\zeta (s)\) associa ad ogni punto \((\sigma ,\varsigma)\) del piano cartesiano \(O\sigma \varsigma\) diverso da \((1,0)\) un punto \((u,v)\) di un altro piano cartesiano \(Ouv\).
[Se vuoi immaginarti come può agire questa funzione, pensa ad una cartina geografica di un terreno che conosci: una funzione tra il "piano del terreno" ed il "piano della mappa" associa ad ogni punto del terreno che conosci il punto ad esso corrispondente sulla mappa... Allo stesso modo la \(\zeta\) associa ad ogni \((\sigma ,\varsigma)\) nel piano \(O\sigma \varsigma\) un punto \((u,v)\) nel piano \(Ouv\).]

Ora, è lecito chiedersi se la funzione \(\zeta (s)\) (prolungata come detto sopra) abbia qualche zero nel piano complesso, cioè se esistano numeri complessi \(s=(\sigma ,\varsigma)\) che soddisfino l'equazione \(\zeta (s)=0+\imath\ 0\); in altre parole, se esistono punti del piano \(O\sigma \varsigma\) che vengono trasformati dalla \(\zeta (s)\) nell'origine del piano \(Ouv\).

Per un risultato di Eulero (che è vissuto ben prima di Riemann!), la funzione \(\zeta (s)\) si annulla certamente in tutti i punti del tipo \(s_n=-2n=-2n+\imath\ 0=(-2n,0)\) per \(n\in \mathbb{N}\), cioè si trova che:
\[
\zeta (-2+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \zeta (-4+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \zeta (-6+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \zeta (-8+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \ldots
\]
I punti \(s_n\) vengono anche detti zeri banali della \(\zeta\) (perché si sà da millemila anni che ci sono!).
Il problema vero è stabilire se l'equazione \(\zeta (s)=0+\imath\ 0\) ha altre soluzioni oltre agli \(s_n\)...

Riemann, ai suoi tempi, ha messo insieme alcuni indizi ed formulato la seguente congettura:

se altre soluzioni dell'equazione \(\zeta (s)=0+\imath\ 0\) esistono, esse giacciono tutte sulla retta d'equazione \(\sigma =1/2\) (che, nel piano cartesiano complesso \(O\sigma \varsigma\), è la retta parallela all'asse delle ordinate \(\varsigma\) che passa per il punto \((1/2,0)\))

questa congettura è detta ipotesi di Riemann.
La retta d'equazione \(\sigma =1/2\) (sulla quale potrebbero trovarsi tutti gli zeri non banali della \(\zeta (s)\)) è molte volte detta retta critica per la funzione \(\zeta (s)\).

Molti matematici hanno provato a dimostrare che la congettura è vera, ma finora si sono solo accumulati molti indizi ed il problema è ancora aperto.


@ Zero87: Scrivevo mentre anche tu scrivevi la risposta. Scusa se mi sono sovrapposto.

[Zero87]

@ gianpiero: Purtroppo a quest'età non hai ancora gli strumenti adatti a capire appieno i risvolti della faccenda: ti mancano le conoscenze di base di Calcolo Differenziale e di Analisi Complessa, purtroppo.

Come ho detto anche io, non è una bocciatura: basterà anche solo che arrivi a fine quinto anno di liceo scientifico in modo che avrai acquisito molti di quei concetti "imprescindibili" di cui parlavo anche io...

Essa è definita in maniera "tranquilla" per i numeri complessi \(s=\sigma +\imath\ \varsigma\) aventi parte reale \(\sigma >1\)

Se non vuoi vedere quello sgorbio, pensa a $s=a+i b$ in luogo di quelle "artistiche" lettere greche .

[Se vuoi immaginarti come può agire questa funzione, pensa ad una cartina geografica di un terreno che conosci: una funzione tra il "piano del terreno" ed il "piano della mappa" associa ad ogni punto del terreno che conosci il punto ad esso corrispondente sulla mappa... Allo stesso modo la \(\zeta\) associa ad ogni \((\sigma ,\varsigma)\) nel piano \(O\sigma \varsigma\) un punto \((u,v)\) nel piano \(Ouv\).]

La cartina geografica è l'esempio migliore: un'italia politica è un piano cartesiano in cui determinate città possono assumere determinate coordinate. Ci sono anche i numeri che le indicano (come nel consueto $Oxy$) solo che in geografia sono i paralleli e i meridiani...

Molti matematici hanno provato a dimostrare che la congettura è vera, ma finora si sono solo accumulati molti indizi ed il problema è ancora aperto.

Si dice che per Hardy fosse un'ossessione e che si alzasse la mattina con il chiodo fisso di dimostrare:
- la non esistenza di Dio;
- l'ipotesi di Riemann;
- fare un punteggio (non so quale) a cricket.
[Lo citano Du Satoy e Derbyshire, è una di quelle cose da "storia della matematica"... ]

[TheAnswer93]

Che bello se vuoi cerchiamo di studare insieme la cosa, mi interessa molto!

[gianpierovignola]

Che bello se vuoi cerchiamo di studare insieme la cosa, mi interessa molto!

per me va bene puoi inviarmi una mail in privato se ti va

Comunque grazie a tutti gli altri per aver risposto

[vict85]

Vi suggerisco di non correre troppo: la comprensione ha bisogno dei suoi tempi. State per intraprendere un viaggio in qualcosa che non tutti i laureati magistrali in matematica comprendono compiutamente (tra cui io che però non sono un analista). Correre e basarsi troppo su semplificazioni del problema vi può portare più facilmente fuori strada di quanto possa sembrare. È molto facile comunque pensare di capire qualcosa mentre invece si ha una comprensione distorta e frammentaria di un certo concetto. L'analisi è solo apparentemente semplice.

Detto questo non vi dico di non guardarvi analisi reale e complessa e di cercare di capirla ma dovete tener conto che vi serviranno anni prima di poter avere la maturità matematica sufficiente per affrontare seriamente il problema o anche solo comprenderlo sufficientemente. Vi serviranno anni anche solo per capire davvero analisi reale e complessa a dire il vero e non la versione naive che viene insegnata nelle superiori e nei primi anni della triennale.

[wide87]

In questa appassionante sessione di divulgazione scientifica, manca però il nesso fra funzione ZETA di Riemann e numeri primi . Olomorfi saluti.