@ gianpiero: Purtroppo a quest'età non hai ancora gli strumenti adatti a capire appieno i risvolti della faccenda: ti mancano le conoscenze di base di Calcolo Differenziale e di Analisi Complessa, purtroppo.
Ad ogni modo, l'idea del problema è la seguente.
Esiste questa funzione complessa di variabile complessa chiamata \(\zeta (s)\).
Essa è definita in maniera "tranquilla" per i numeri complessi \(s=\sigma +\imath\ \varsigma\) aventi
parte reale \(\sigma >1\); però tale funzione, mediante un certo procedimento di "prolungamento", può essere definita anche per numeri complessi che hanno parte reale \(\sigma \leq 1\)... Tuttavia la \(\zeta (s)\) non può essere mai definita per \(s=1+\imath\ 0=1\) in maniera "sensata".
*Per capire meglio, immagina di identificare il generico numero complesso \(s=\sigma +\imath\ \varsigma\) col punto del piano cartesiano di coordinate \((\sigma ,\varsigma)\), cioè scegli di porre \(s=(\sigma, \varsigma)\). In tal modo puoi anche pensare che la funzione \(\zeta (s)\) associa ad ogni punto \((\sigma ,\varsigma)\) del piano cartesiano \(O\sigma \varsigma\) diverso da \((1,0)\) un punto \((u,v)\) di un altro piano cartesiano \(Ouv\).
[Se vuoi immaginarti come può agire questa funzione, pensa ad una cartina geografica di un terreno che conosci: una funzione tra il "piano del terreno" ed il "piano della mappa" associa ad ogni punto del terreno che conosci il punto ad esso corrispondente sulla mappa... Allo stesso modo la \(\zeta\) associa ad ogni \((\sigma ,\varsigma)\) nel piano \(O\sigma \varsigma\) un punto \((u,v)\) nel piano \(Ouv\).]
Ora, è lecito chiedersi se la funzione \(\zeta (s)\) (prolungata come detto sopra) abbia qualche
zero nel piano complesso, cioè se esistano numeri complessi \(s=(\sigma ,\varsigma)\) che soddisfino l'equazione \(\zeta (s)=0+\imath\ 0\); in altre parole, se esistono punti del piano \(O\sigma \varsigma\) che vengono trasformati dalla \(\zeta (s)\) nell'origine del piano \(Ouv\).
Per un risultato di Eulero (che è vissuto ben prima di Riemann!), la funzione \(\zeta (s)\) si annulla certamente in tutti i punti del tipo \(s_n=-2n=-2n+\imath\ 0=(-2n,0)\) per \(n\in \mathbb{N}\), cioè si trova che:
\[
\zeta (-2+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \zeta (-4+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \zeta (-6+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \zeta (-8+\imath\ 0)=0+\imath\ 0,\ \ldots
\]
I punti \(s_n\) vengono anche detti
zeri banali della \(\zeta\) (perché si sà da millemila anni che ci sono!).
Il problema vero è stabilire se l'equazione \(\zeta (s)=0+\imath\ 0\) ha altre soluzioni oltre agli \(s_n\)...
Riemann, ai suoi tempi, ha messo insieme alcuni indizi ed formulato la seguente congettura:
se altre soluzioni dell'equazione \(\zeta (s)=0+\imath\ 0\) esistono, esse giacciono tutte sulla retta d'equazione \(\sigma =1/2\) (che, nel piano cartesiano complesso \(O\sigma \varsigma\), è la retta parallela all'asse delle ordinate \(\varsigma\) che passa per il punto \((1/2,0)\))
questa congettura è detta
ipotesi di Riemann.
La retta d'equazione \(\sigma =1/2\) (sulla quale potrebbero trovarsi tutti gli zeri non banali della \(\zeta (s)\)) è molte volte detta
retta critica per la funzione \(\zeta (s)\).
Molti matematici hanno provato a dimostrare che la congettura è vera, ma finora si sono solo accumulati molti indizi ed il problema è ancora aperto.
@ Zero87: Scrivevo mentre anche tu scrivevi la risposta. Scusa se mi sono sovrapposto.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)