Calcolo del seguente integrale col teorema dei residui
Inviato: 19/04/2024, 16:15
Ciao a tutti, preparandomi per l'esame di metodi e modelli matematici, mi sono imbattuto il questo integrale di cui non ho la più pallida idea di come risolvere:
$\int_{0}^{infty} 1/(x^(1/3)(4+x)) dx$
La richiesta è di risolverlo e di scrivere esplicitamente il percorso di integrazione.
Effettuando la sostituzione $x=z$ passo all'integrale:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx$
Le singolarità sono $z=0$ e $z=-4$ e sono polari.
Il percorso che ho scelto è ($R>r$):
$gamma_1(x)=xe^(i(3pi/2))$, $R>x>r$
$gamma_2(x)=xe^(i(pi/2))$, $r<x<R$
$gamma_r(theta)=re^(itheta)$, $pi/2<theta<3pi/2$
$gamma_R(theta)=Re^(itheta)$, $pi/2<theta<3pi/2$
Per il teorema dei residui so che:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx=2pii*Res_{z=-4}(1/(z^(1/3)(4+z)))$
Svolgendolo con il teorema della caratterizzazione dei poli di ordine m ottengo: $2pii*Res_{z=-4}(1/(z^(1/3)(4+z)))=(2pii)/(4^(1/3)e^(ipi))=-2^(1/3)pii$ (ho scelto l'unica radice che è all'interno del mio percorso di integrazione)
Penso che sia sbagliato in quanto è un risultato con parte reale nulla, mentre l'integrale che sto cercando lo ricavo proprio dalla parte reale di questo risultato...
Potreste illuminarmi gentilmente su cosa ho sbagliato?
Grazie mille in anticipo
P.S. Il risultato corretto dell'esercizio è $(2^(1/3)pi)/(3^(1/2))$.
$\int_{0}^{infty} 1/(x^(1/3)(4+x)) dx$
La richiesta è di risolverlo e di scrivere esplicitamente il percorso di integrazione.
Effettuando la sostituzione $x=z$ passo all'integrale:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx$
Le singolarità sono $z=0$ e $z=-4$ e sono polari.
Il percorso che ho scelto è ($R>r$):
$gamma_1(x)=xe^(i(3pi/2))$, $R>x>r$
$gamma_2(x)=xe^(i(pi/2))$, $r<x<R$
$gamma_r(theta)=re^(itheta)$, $pi/2<theta<3pi/2$
$gamma_R(theta)=Re^(itheta)$, $pi/2<theta<3pi/2$
Per il teorema dei residui so che:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx=2pii*Res_{z=-4}(1/(z^(1/3)(4+z)))$
Svolgendolo con il teorema della caratterizzazione dei poli di ordine m ottengo: $2pii*Res_{z=-4}(1/(z^(1/3)(4+z)))=(2pii)/(4^(1/3)e^(ipi))=-2^(1/3)pii$ (ho scelto l'unica radice che è all'interno del mio percorso di integrazione)
Penso che sia sbagliato in quanto è un risultato con parte reale nulla, mentre l'integrale che sto cercando lo ricavo proprio dalla parte reale di questo risultato...
Potreste illuminarmi gentilmente su cosa ho sbagliato?
Grazie mille in anticipo
P.S. Il risultato corretto dell'esercizio è $(2^(1/3)pi)/(3^(1/2))$.