da pilloeffe » 22/03/2024, 09:12
Ciao andreadel1988,
In generale una forma differenziale $\omega = P \text{d}x + Q \text{d}y + R \text{d}z $ è chiusa se $P_y = Q_x $, $P_z = R_x $, $Q_z = R_y $, cioè nel caso in esame $\mu \text{d}x+\mu z \text{d}y - \mu y \text{d}z $:
$(\del \mu)/(\del y) = (\del (\mu z))/(\del x) $
$(\del \mu)/(\del z) = (\del (-\mu y))/(\del x) $
$(\del (\mu z))/(\del z) = (\del (-\mu y))/(\del y) $
Quindi si ha:
$(\del \mu)/(\del y) = (\del \mu)/(\del x) z + \mu (\del z)/(\del x) = (\del \mu)/(\del x) z $
$(\del \mu)/(\del z) = (\del (-\mu y))/(\del x) = - (\del \mu)/(\del x) y - \mu (\del y)/(\del x) = - (\del \mu)/(\del x) y $
$(\del \mu)/(\del z) z + \mu = - (\del \mu)/(\del y) y - \mu $
In effetti dall'ultima si ottiene l'equazione seguente:
$(\del \mu)/(\del z) z + (\del \mu)/(\del y) y = - 2 \mu $
Si tratta di un'equazione differenziale lineare alle derivate parziali del primo ordine, che se non erro ha soluzione $\mu = \mu(x, y, z) = z/y^3 c(x) $ ove $c(x) $ è una funzione di $x$ differenziabile arbitraria.
Per determinarla facilmente osserverei che nell'equazione non compaiono derivate rispetto a $x$, quindi lasciando perdere $x$ (alla fine si potrà sempre moltiplicare la soluzione ottenuta per un'arbitraria funzione di $x$) ipotizzerei una soluzione prodotto del tipo $p(y, z) = y^m z^n $ che inserita nell'equazione differenziale porge l'equazione seguente:
$ ny^m z^n + m y^m z^n = - 2 y^m z^n $
$n + m = - 2 $
da cui in effetti è naturale scegliere $n = 1 $ e $m = - 3$ e quindi $\mu(x, y, z) = p(y, z) c(x) = z/y^3 c(x) $