$S^2$ con le due proiezioni stereografiche è una superficie riemanniana

Consideriamo $S^2$ con le due proiezioni stereografiche rispettivamente togliendo il polo nord e il polo sud, trovare la funzione di incollamento che si ottiene attraverso la definizione di superficie riemanniana con le due carte date dalle due proiezioni.

Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è definita da $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 :\mathbb{C^*->C^*}$, ma allora preso $z=x+iy \in C^*$, ricordando che $(\varphi_1)^-1(x,y)=(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2},\frac{-1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2})$ e $\varphi_2(x,y,z)=(\frac{x}{z+1},\frac{y}{z+1})$ si ha $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 (z)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})=\frac{z}{|z|^2}=1/ \bar z$. MA da come ho visto in altre parti il risultato dovrebbe essere $1/z$, cos è sbagliato?"

Molto probabilmente $1/z$ si riferisce alla sola proiezione stereografica, ovvero solo a $\varphi_2(x,y,z)$, dove con $z$ si intende $z= x+iy$.
Credo che ci sia un po' di confusione tra $z$ variabile complessa e $z$ come coordinata di $x,y,z$.

si allora per non sbagliarci chiamiamo $w=x+iy$, il risultato dovrebbe essere $1/w$ e non $1/ \bar w$.

Si trova

${(X = (2x)/(|z|^2 + 1)), (Y = (2y)/(|z|^2 + 1)), (Z = (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1)):} \iff z = x + iy = (X + iY)/(1 - Z) $

Quindi si ha:

$ 1/z = (1 - Z)/(X + iY) = (1 - (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1))/( (2x)/(|z|^2 + 1) + i(2y)/(|z|^2 + 1)) = 2/(2x + i2y) = 1/(x + iy) = 1/z $

$z = x + iy = (X + iY)/(1 - Z) $

ma la proiezione stereografica rispetto al polo sud non è non è $(X + iY)/(Z+1)$ ?

ma la proiezione stereografica rispetto al polo sud

Dove c'è scritto polo sud? Quelle che hai scritto poi mi sembrano le trasformazioni per il polo nord...
Se consideriamo la sfera $S$ di centro l'origine dello spazio $\RR^3 $ e raggio $1$, l'equazione della retta passante per i punti $(0, 0, 1) $ e $(x, y, 0) $ si può scrivere:

$[[X],[Y],[Z]] = (1 - t) [[0],[0],[1]] + t [[x],[y],[0]] $

dove $(X, Y, Z)$ sono le coordinate di un punto di $\RR^3 $ e $t \in \RR $, vale a dire

${(X = tx),(Y = ty),(Z= 1 - t):}$

La condizione di appartenenza alla sfera $S$ si traduce nell'equazione seguente:

$t^2(x^2 + y^2) + (1 - t)^2 = 1 \iff t^2(x^2 + y^2 + 1) - 2t = 0 $

La soluzione $t = 0 $ ci fornisce il polo nord $(0, 0, 1)$ e pertanto è da scartare; l'intersezione cercata della retta precedente con la sfera $S$ è dunque fornita dal valore $ t = 2/(|z|^2 + 1) $ che sostituito nelle formule precedenti porge proprio quanto

${(X = (2x)/(|z|^2 + 1)), (Y = (2y)/(|z|^2 + 1)), (Z = (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1)):} \iff z = x + iy = (X + iY)/(1 - Z)$

Quelle che hai scritto poi mi sembrano le trasformazioni per il polo nord...

In realtà mi sono accorto che se non ho commesso errori per il polo sud la situazione non cambia significativamente, ma mi risulta solo

$Z = t - 1 = 2/(|z|^2 + 1) - 1 = (1 - |z|^2)/(|z|^2 + 1) = - (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1) $

che però non è ciò che hai scritto in $(\varphi_1)^{-1} $...

ma la proiezione stereografica rispetto al polo sud non è non è $(X+iY)/(Z+1)$ ?

In base a quanto sopra effettivamente mi risulta

$z = x + iy = X(|z|^2 + 1)/2 + i Y(|z|^2 + 1)/2 = (X + iY)/(2/(|z|^2 + 1)) = (X + iY)/(Z + 1) $

Consideriamo $S^2$ con le due proiezioni stereografiche rispettivamente togliendo il polo nord e il polo sud, trovare la funzione di incollamento che si ottiene attraverso la definizione di superficie riemanniana con le due carte date dalle due proiezioni.

Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è definita da $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 :\mathbb{C^*->C^*}$, ma allora preso $z=x+iy \in C^*$, ricordando che $(\varphi_1)^-1(x,y)=(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2},\frac{-1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2})$ e $\varphi_2(x,y,z)=(\frac{x}{z+1},\frac{y}{z+1})$ si ha $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 (z)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})=\frac{z}{|z|^2}=1/ \bar z$. MA da come ho visto in altre parti il risultato dovrebbe essere $1/z$, cos è sbagliato?"

Credo che la questione sia molto piu' semplice e subdola, del perche' il risultato e' $1/z$ invece che $1/\bar z$.
In pratica uno e' il coniugato complesso dell'altro.

Il punto, secondo me, e' che la sfera $S^2\\{N}$ e la sfera $S^2\\{S}$ sono una ribaltata rispetto all'altra.
Prendiamo due osservatori: uno sta sul polo Nord della sfera $S^2\\{N}$
e l'altro sta sul polo Sud della sfera $S^2\\{S}$.
Il primo osservatore prende un punto $x+y$ sul piano complesso, e per l'altro osservatore il punto sara' $x-iy$, siccome i due osservatori sono agli antipodi e sono ribaltati, per cui vedono il piano complesso in modo ribaltato ed entrambi guardano l'asse $x$ positivo.
Entrambi sono d'accordo sulla $x$, ma la $y$ la vedono opposta, quindi viene fuori il complesso coniugato.
Detto in altre parole, la destra di uno e' la sinistra dell'altro, come allo specchio.
Secondo me il problema e' questo, bisogna mettersi d'accordo su questo punto.

ma mi risulta solo

$ Z = t - 1 = 2/(|z|^2 + 1) - 1 = (1 - |z|^2)/(|z|^2 + 1) = - (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1)$

Usando questo nuovo valore di $Z$ (che poi è semplicemente l'opposto di quello trovato per il polo Nord...) e dato che

$z = x + iy = X(|z|^2 + 1)/2 + i Y(|z|^2 + 1)/2 = (X + iY)/(2/(|z|^2 + 1)) = (X + iY)/(Z + 1)$

in effetti si ha:

$(Z + 1)/(X + iY) = \frac{ - (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1) + 1}{(2x)/(|z|^2 + 1) + i (2y)/(|z|^2 + 1)} = \frac{ - |z|^2 + 1 + |z|^2 + 1}{2x + i 2y} = 2/(2x + i2y) = 1/(x + iy) = 1/z $

Quindi riassumendo hai sbagliato solo a non mettere il segno $-$ nell'espressione di $Z$ in $(\varphi_1)^{- 1}$ e dovrebbe risultarti

$ (\frac{x}{x^2+y^2}, - \frac{y}{x^2+y^2})=\frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = 1/z $

ok grazie