Esercizio Derivata Distribuzionale Con Parametro Assegnato

Ciao a tutti,

propongo il seguente esercizio:

"Si consideri il segnale $ x(t)=u(alphat)*sin(alphat) $ con $alpha$ parametro assegnato.
Per quali valori di $alpha$ la derivata distribuzionale $x'(t)$ presenta un salto di ampiezza negativa in $t=0$?"
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Il mio procedimento è il seguente:

La funzione $ x(t)$ non presenta salti, quindi $ x'(t)= x^d(t)={ ( 0->t<0 ),( alphacos(alphat)*u(alphat)+sin(alphat)*alphau'(alphat) ->t>=0):} $

quindi $x'(t)=alphacos(alphat)*u(alphat)+sin(alphat)*alphadelta(alphat)$

tenendo presente che $sin(alpha*0)*alphau'(alphat)=0$ per la proprietà della delta di Dirac "Moltiplicazione per un segnale continuo".

in definitiva $ x'(t)=alphacos(alphat)*u(alphat)$

Adesso però la derivata distribuzionale $ x'(t)$, se $alpha<0$, ha un salto in $t=0$ di ampiezza negativa pari ad $-alpha$. Il coseno risulta specchiato verso le ascisse negative e di conseguenza anche il gradino $u(t)$ specchiato verso destra (nullo).
L'esercizio però rivela come risposta "per nessun $ alpha in mathbb(R) $ . Cioè la derivata distribuzionale $x'(t)$ non presenta salti. Dove sbaglio?

Grazie!

Anche $\alpha$ e' negativo per cui da sinistra hai che $x'(t) = \alpha < 0$ siccome
$cos(\alpha t) = 1$
$u(\alpha t) = 1$
$\alpha < 0$
e da destra hai che $x'(t) = 0$

Quindi c'e' un salto positivo $lim_{t -> 0^+} x'(t) - lim_{t -> 0^-} x'(t) = \alpha$

Senza far conti, basta fare un disegno.

• Se $alpha >0$ (diciamo $\alpha = 1$), hai un segnale del tipo:
  
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  la cui derivata è:
  
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• Se invece $\alpha < 0$ (diciamo $\alpha = -1$), hai un segnale del tipo:
  
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  la cui derivata è:
  
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In ognuno dei casi, il salto della derivata è positivo (perché se $\alpha < 0$ c'è una riflessione rispetto all'asse delle ordinate in atto).

Ciao,

gugo82, l'ultimo grafico che hai fatto della derivata: non vi è un salto negativo? Non capisco.
Sono arrivato alle stesse conclusioni e disegnato gli stessi grafici. Da $0$ a $-1$ nella derivata non c'è un salto proprio di $-1$?

Grazie!

Ciao davicos,

Da $0$ a $−1$ nella derivata non c'è un salto proprio di $−1$?

Non so come è definito il salto $s$ dal tuo docente, ma tipicamente è definito nel modo seguente:

$s := \lim_{t \to t_0^+} x'(t) - \lim_{t \to t_0^-} x'(t) $

Nel caso in esame $t_0 = 0 $ e $\alpha < 0 $ quindi riscrivendolo per comodità come $- \alpha $ con $\alpha > 0 $, si ha:

$ s := \lim_{t \to 0^+} x'(t) - \lim_{t \to t_0^-} x'(t) = 0 - (- \alpha) = \alpha > 0 $

Dunque in ogni caso il salto è positivo.

nell'ultimo grafico che hai fatto della derivata: non vi è un salto negativo? Non capisco.
Sono arrivato alle stesse conclusioni e disegnato gli stessi grafici. Da $0$ a $-1$ nella derivata non c'è un salto proprio di $-1$?

Infatti, la derivata non salta "da $0$ a $-1$", ma da $-1$ a $0$.
Il tempo si muove nella direzione dell'asse, mica a ritroso!

Ciao,

gugo82 ah ecco!!! Ok perfetto capito è vero non avevo contato il verso di "lettura" del grafico! Cavolo sembra quasi un tranello!

Grazie mille!!!