Ciao a tutti,
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se i passaggi sono corretti. Grazie.
$ x(t) = p_(2T)(t) $ con $T>0 $ , dove $p_(2T)(t) $ è la funzione porta di periodo $2T$.
Si pone $ y(t) := (x ** x )(t) $ . Allora:
1) $y(t) >= 0$ per ogni $t in mathbb(R) $ ; (VERO)
2) $ y'(t) = sgn(t)*p_(2T)(t) $ nel senso delle distribuzioni; (FALSO)
3) $ int_(-oo )^(+oo ) y(t)dt=2T $ . (FALSO)
Devo rispondere, per ognuna, VERO o FALSO.
La mia risoluzione è la seguente:
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1) $ (x**x)(t) = int_(-oo )^(+oo) x(t-s)x(s)ds= int_(-oo )^(+oo) p_(2T)(t-s)p_(2T)(s)ds = int_(-T)^(T)p_(2T)(t-s)ds$
$ p_(2T)(t-s)= { ( 1 rarr -T<t-s<T),( 0rarr al t rimenti):} = { ( 1 rarr t-T<s<t+T),( 0rarr al trimenti):} $
$ { ( t+T<0rarr t<-T),( -T<t<T ),( t-T>0rarrt>T ):} $
quindi
$ y(t)=int_(-T)^(T) p_(2T)(t-s)ds = { ( 0rarrt<-T ),( int_(t-T)^(t+T)(1)* ds rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} = { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):}$
tenendo presente che il risultato è positivo e che non dipente da $t$ allora $y(t) >= 0 $ per ogni $t in mathbb(R) $.
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2) $ y^d(t)={ ( 0rarrt<-T ),( 0 rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} $
salti: $ { ( t_1=-T ),( [[y]]_-T=1 ):} { ( t_2=T ),( [[y]]_T=-1 ):} $
$ p'_(2T)(t)=0+1*delta(t+T)-1*delta(t-T) = delta(t+T)-delta(t-T) !=sgn(t)*p_(2T)(t) $
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3) In realtà $ int_(-T )^(+T) y(t)dt=2T $. Cambiano gli estremi di integrazione.
Corretto?
Grazie.