Calcolo Residuo funzione complessa

Ciao a tutti,
non riesco a capire un esercizio:

"Data la funzione $ f(z) = cosz/((z^2+1)(z+i)) $ il residuo $ Res_(f)(-i) $ è un numero reale"
Questo è il mio procedimento:

$ f(z) = cosz/((z^2+1)(z+i)) = cosz/((z-i)(z+i)(z+i))=cosz/((z-i)(z+i)^2) $

$ Res_(f)(-i) = lim_(z -> -i) d/dz [(z+i)^2cosz/((z-i)(z+i)^2)]=lim_(z -> -i) d/dz [cosz/(z-i)] $

dopo vari passaggi arrivo alla conclusione

$ Res_(f)(-i) = (cos(-i)-2isin(-i))/(4) =(cosh(1) -2i*isinh(1))/4 = (cosh(1)+2sinh(1))/4 $

Se il tutto è corretto la mia domanda verte sulle funzioni trigonometriche complesse. Sinceramente non mi è mai capitato un argomento complesso in una funzione trigonometrica o in altre funzioni come ad esempio il logaritmo. Come ci arrivo a tale risultato? Cioè o lo si sa o no. Quali passaggi dovrei fare per arrivare da $ cos (i) $ a $ cosh (1) $ e da $sin(-i)$ a $isinh(1)$?
Grazie in anticipo!!

Usa le definizioni. Come sono definiti \(\cos z\) e \(\sinh z\)?

Ciao davicos.

Quali passaggi dovrei fare per arrivare da $cos(i)$ a $cosh(1)$ e da $sin(−i)$ a $isinh(1)$?

Hai presente le formule di Eulero?

$cos(x) = (e^{ix} + e^{-ix})/2 $

$sin(x) = (e^{ix} - e^{-ix})/(2i) $

Cosa accade se consideri $x = - i$ o $x = i $ ?

Ciao,

ah ok quindi bastava solo che usassi le Formule di Eulero.
Grazie mille delle risposte!!

In generale hai:
\[
\cos z = \cosh (\imath z) \qquad \text{e} \qquad \sin z = -\imath\ \sinh (\imath z)
\]
e viceversa:
\[
\cosh z = \cos (\imath z) \qquad \text{e} \qquad \sinh z = -\imath\ \sin (\imath z)
\]
sempre dalle formule di Eulero; ancora più in generale valgono:
\[
\cos z = \cos x\ \cosh y - \imath\ \sin x\ \sinh y\qquad \text{e}\qquad \sin z = \sin x\ \cosh y + \imath \cos x\ \sinh y
\]
per \(z = x +\imath y\), e formule analoghe per seno e coseno iperbolici.

Ciao,

perfetto grazie mille!