Dimostrazione:
Sia $u in C_0^1(\Omega)$, allora $\int_(\Omega) <x,\nabla (u^2)> = \int_(\Omega) <x,2u\nabla u> = 2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u$ adesso usando la disuguaglianza di cauchy-schwarz otteniamo $2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u<=2\int_(\Omega) |x||\nabla u||u|<=2su p_{x in \Omega}|x|\int_(\Omega) |\nabla u||u|=2c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u||u|$ dove $c(\Omega)$ è l'elemento che realizza il massimo di $|x|$ in $\Omega$ (che è limitato), per cui $c$ dipende da $\Omega$. Infine applicando la disuguaglianza di Holder otteniamo $2c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u||u|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) <x,\nabla u^2> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poichè $di v x=n$) ma allora:
$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$, per cui $\int_(\Omega) u^2 dx<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$ quindi semplificando $(\int_(\Omega) u^2 dx)^(1/2)<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)$ perciò elevando al quadrato otteniamo $\int_(\Omega) u^2 dx<=\tilde c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u|^2$.
Intanto volevo sapere se la dimostrazione cosi spiegata fosse giusta, poi avevo alcuni dubbi su alcune parti:
1) $\Omega sub RR^n$ un insieme $C^1$ vuol dire che è regolare? Cioè cosa significa ?
2)Perchè prendiamo $u in C_0^1(\Omega)$ mentre nell'enunciato $u in W_0^(1,2)(\Omega)$?
3) Non ho ben capito come usa il teorema di Gauss e che la divergenza di $x$ sia uguale a $n$ (in pratica non ho capito i passaggi:
)andreadel1988 ha scritto:.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) <x,\nabla u^2> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poichè $di v x=n$)
4) Perchè in:
andreadel1988 ha scritto:$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$,
mette il modulo?
Grazie in anticipo per l aiuto!