Teorema 3.16 del libro di D.S.Jones

Come detto in un mio post precedente, sto leggendo il libro di D.S.Jones, The theory of generalized functions, e nel particolare stavolta la domanda è sul teorema 3.16 di pagina 81.
Per rendere questo post autoconsistente faccio un pò di contesto, molto simile a quello già fatto "di là". Iniziamo dalle definizioni.

Una funzione buona $\gamma(x)$ è definita come una funzione che agisce sui reali, infinitamente differenziabile e tale che lei e tutte le sue derivate siano un $O(|x|^{-N})$, per ogni $N$.

Una funzione generalizzata è per definizione una famiglia di funzioni buone \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) tale per cui esista il limite \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\) per qualsiasi buona $\gamma(x)$.

Riporto inoltre un lemma, senza dimostrarlo (ma la cui dimostrazione mi torna perfettamente).

La proprietà seguente è valida per tutte le funzioni buone: \(\displaystyle \max_{x\in\mathbb{R}}\left\{(1+x^2)^{\alpha} \left|\gamma^{(p)}(x)\right| \right\}\leq \left(\frac{\pi}{2}\right)^n\max_{x\in\mathbb{R}}\left\{(1+x^2)^{\alpha+n} \left|\gamma^{(p+n)}(x)\right|\right\} \), dove $\alpha\geq 0$ e $p\in\mathbb{N}_0$.


Detto ciò, veniamo al dubbio.
Il teorema 3.16 afferma che:

Qualsiasi sia la funzione generalizzata \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \), esistono due interi $k$, $r$, e una costante $K$ tali che $$ \left| \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| \leq K \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x)$$ per qualsiasi funzione buona $\gamma$.

Lui inizia la dimostrazione notando che:

\(\displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| \leq \int_{-\infty}^\infty |\gamma_n(x)| \mathrm{d}x \cdot \max_{x\in\mathbb{R}}| \gamma(x)| \underbrace{\leq}_{\text{Lemma}} \underbrace{ \left(\frac{\pi}{2}\right)^s \int_{-\infty}^\infty |\gamma_n(x)| \mathrm{d}x}_{C_{s,n} \text{ indipendente da }\gamma} \cdot \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{s}| \gamma^{(s)}(x)|\)

e afferma che la dimostrazione sarebbe conclusa se per un qualche $s$ le costanti $C_{s,n}$ fossero limitate al variare di $n$. Al fine di dimostrare questa cosa procede per assurdo, ipotizzando che ciò non sia vero, ovvero che scelti dei qualunque $k$ e $s$, si troverà sempre un indice $n$ oltre il quale \(\displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| > L_n\cdot \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{k/2}| \gamma^{(s)}(x)| \), non importa quanto $L_n$ sia grande.

E proprio il passaggio "ovvero che..." che io contesto. Per me le strade per assurdo che si potrebbero impostare sono al massimo due e non ho ben capito quale delle due lui aveva in mente di seguire, da come ha scritto:
1. suppongo per assurdo che, qualsiasi sia $s$, la successione $C_{s,n}$ è sempre non limitata;
2. suppongo per assurdo che, comunque vengano scelti $k,r$ e $K$, si riesce sempre a trovare una funzione buona $\tilde{\gamma}$ tale che la successione \(\displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \tilde{\gamma}(x) \mathrm{d}x\right| \) non è limitata al variare di $n$.

Scegliendo la prima ipotesi, non mi sembra che si può dedurre granché, perché se i maggioranti sono illimitati non significa che debba esserlo anche la successione maggiorata.
La seconda ipotesi per assurdo invece consente libera scelta per le costanti $k,r$ e $K$ (quelle dell'enunciato del teorema), ma poi la funzione buona $\tilde{\gamma}(x)$ è "quella che viene", e invece lui imposta tutto il prosieguo della dimostrazione sulla possibilità di scegliere le funzioni buone come gli pare, nel modo che più gli fa comodo per arrivare ad una contraddizione.

Cosa mi sto perdendo? Non ci credo che il passaggio evidenziato da me in rosso è veramente un errore logico commesso dall'autore. Molto più verosimilmente mi sto perdendo qualcosa io e chiedo aiuto a capire in tal senso.

Grazie.

PS: non so quanto possa essere utile il resto, ma se serve posso postare un estratto della dimostrazione completa (un pò lunga e involuta, ma si basa sostanzialmente tutta sull'ipotesi per assurdo fatta all'inizio che io sto contestando qui).

@ Silent visto che si parla di funzioni generalizzate, forse è meglio postare in Analisi superiore, se vuoi sposto, se è una tua scelta mettere in Analisi di base lascio qui.
In Analisi superiore forse hai più chances di risposta, qui mi sa che si sperde un po'.

@ Silent visto che si parla di funzioni generalizzate, forse è meglio postare in Analisi superiore, se vuoi sposto, se è una tua scelta mettere in Analisi di base lascio qui.
In Analisi superiore forse hai più chances di risposta, qui mi sa che si sperde un po'.

Sì, vanno spostati entrambi, non c'è neanche da chiedere. Ho avuto la tentazione di farlo io, poi mi sono ricordato di non fare più parte dello staff.

Ad ogni buon conto, se comprendo bene, quello che si sta facendo è definire le distribuzioni temperate in modo che la densità di quelle definite attraverso le funzioni di Schwartz¹ venga "gratis" dalla definizione.
Di solito si fa il contrario, cioè si definiscono le distribuzioni temperate come funzionali lineari continui sullo spazio di Schwartz e dopo si prova che le distribuzioni definite attraverso le funzioni di Schwartz sono dense in quello spazio, i.e. che ogni distribuzione temperata è il limite di una successione di distribuzioni definite attraverso funzioni di Schwartz.
Probabilmente, se si sceglie il secondo approccio si fa meno fatica coi conti, perché le stime servono sono in un secondo momento.


P.S.: Sempre testi simpatici ti scegli...

P.P.S.: @gabriella127: Come vedi, gli economisti non sono gli unici ad avere problemi coi confini degli argomenti "di base"...

---

Note

1. Se $f$ è una funzione a decrescenza rapida, o di Schwartz che dir si voglia, si può definire una distribuzione sullo spazio $mathcal{S}$ ponendo:
   
   $<< F, phi>> := int_(-oo)^(+oo) f(t)phi(t)"d"t$
   
   per ogni $phi in mathcal{S}$. ↑

Sì gugo, hai ragione, va spostato, solo essendo Silent un utente storico volevo avvisarlo, caso mai avesse qualche motivo particolare.
Se non risponde a breve sposto, anche per il suo bene.

P.P.S.: @gabriella127: Come vedi, gli economisti non sono gli unici ad avere problemi coi confini degli argomenti "di base"...

Questa non l'ho capita, se era una frecciatina sappi che sono diventata buddhista. come vedi ho anche un aspetto angelicato .

Sì gugo, hai ragione, va spostato, solo essendo Silent un utente storico volevo avvisarlo, caso mai avesse qualche motivo particolare.
Se non risponde a breve sposto, anche per il suo bene.

Grazie mille per aver provveduto. Scusate, non conosco bene il confine e mi capita di sbagliare sezione.

Ad ogni buon conto, se comprendo bene, quello che si sta facendo è definire le distribuzioni temperate in modo che la densità di quelle definite attraverso le funzioni di Schwartz1 venga "gratis" dalla definizione.

Sì, è questo.
Però a me quello pare veramente un errore logico, e non ci credo ancora.

P.S.: Sempre testi simpatici ti scegli...

Purtroppo il mio non essere un matematico mi devia verso approcci che si mostrano per me più tangibili, e quello per successioni di funzioni buone è veramente semplice e bello.
L'approccio di Schwartz non mi entusiasma a dire la verità, veramente astratto (lo so, questa frase me la posso permettere solo perché non studio matematica ).

@ gabriella127:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sì gugo, hai ragione, va spostato, solo essendo Silent un utente storico volevo avvisarlo, caso mai avesse qualche motivo particolare.
Se non risponde a breve sposto, anche per il suo bene.

Non credo che al punto 3.2 del regolamento sia prevista un'eccezione per gli utenti "storici"... Potrei sbagliarmi, quindi controlla.

P.P.S.: @gabriella127: Come vedi, gli economisti non sono gli unici ad avere problemi coi confini degli argomenti "di base"...

Questa non l'ho capita, se era una frecciatina sappi che sono diventata buddhista. come vedi ho anche un aspetto angelicato .

Scusa gabriella127, ma mi sembra fossi tu stessa a lamentare il fatto che alcuni economisti (non tu ovviamente):

[...] Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass.

Come già detto altrove, non prenderla sul personale: se ho qualcosa da dire, la dico apertamente ed in PM.
Quindi, te ne prego, cerca di non trattarmi come un megas_archon qualsiasi: non credo di meritarlo dopo 17 anni di permanenza su queste pagine e dopo una sostanziale quantità di contributi.
Grazie.

Ultima modifica di gugo82 il 31/01/2024, 03:44, modificato 1 volta in totale.

Sì gugo, hai ragione, va spostato, solo essendo Silent un utente storico volevo avvisarlo, caso mai avesse qualche motivo particolare.
Se non risponde a breve sposto, anche per il suo bene.

Non credo che al punto 3.2 del regolamento sia prevista un'eccezione per gli utenti "storici"... Potrei sbagliarmi, quindi controlla. :

Non è questione di regolamento, o di fare preferenze per gli utenti storici.
Sono solo forme di cortesia che preferisco usare, visto che conosco Silent e avevo il dubbio che lui avesse motivazioni particolari che mi potevano sfuggire.
Se uno è appena iscritto dò per scontato che non è pratico del Forum e stop.

Scusa gabriella127, ma mi sembra fossi tu stessa a lamentare il fatto che alcuni economisti (non tu ovviamente):

[...] Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass.

Come già detto altrove, non prenderla sul personale: se ho qualcosa da dire, la dico apertamente ed in PM.
Quindi, te ne prego, cerca di non trattarmi come un megas_archon qualsiasi: non credo di meritarlo dopo 17 anni di permanenza su queste pagine e dopo una sostanziale quantità di contributi.
Grazie.

Non capivo assolutamente che ti riferissi a questa cosa, pensavo ad altri scambi. Ho frainteso.

Per il resto, non ti sto trattando 'come un megas_archon qualsiasi' (qualunque cosa significhi), anche perché per me né megas_archon né nessuno è 'uno qualsiasi'.
Sono consapevole del tuo contributo al Forum, non mi sembra di aver mai detto nulla che potesse disconfermarlo.

@ gabriella127:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sì gugo, hai ragione, va spostato, solo essendo Silent un utente storico volevo avvisarlo, caso mai avesse qualche motivo particolare.
Se non risponde a breve sposto, anche per il suo bene.

Non credo che al punto 3.2 del regolamento sia prevista un'eccezione per gli utenti "storici"... Potrei sbagliarmi, quindi controlla. :

Non è questione di regolamento, o di fare preferenze per gli utenti storici.
Sono solo forme di cortesia che preferisco usare, visto che conosco Silent e avevo il dubbio che lui avesse motivazioni particolari che mi potevano sfuggire.
Se uno è appena iscritto dò per scontato che non è pratico del Forum e stop.

Ormai sei tu il moderatore globale: fa come vuoi. Onori ed oneri, no?

Scusa gabriella127, ma mi sembra fossi tu stessa a lamentare il fatto che alcuni economisti (non tu ovviamente):

[...] Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass.

Come già detto altrove, non prenderla sul personale: se ho qualcosa da dire, la dico apertamente ed in PM.
Quindi, te ne prego, cerca di non trattarmi come un megas_archon qualsiasi: non credo di meritarlo dopo 17 anni di permanenza su queste pagine e dopo una sostanziale quantità di contributi.
Grazie.

Non capivo assolutamente che ti riferissi a questa cosa, pensavo ad altri scambi. Ho frainteso.

Si vede che la ricordavo perché mi rimase particolarmente impressa, mentre probabilmente per te è una cosa "normale" e l'avevi rimossa. Capita.
Basta chiedere, anche senza fare appello allo Zen o al Buddhismo.

Per il resto, non ti sto trattando 'come un megas_archon qualsiasi' (qualunque cosa significhi), anche perché per me né megas_archon né nessuno è 'uno qualsiasi'.

Significa tipo questo:

Scusa, che c'entrano gli sviluppi di Mac Laurin? Che ci azzecca tirarli fuori in questo thread? E per favore non offendere e modera i toni. [etc...]

Non credo di essere il tipo da frecciatine o citazioni gratuitamente cattive (tranne quando ce n'è bisogno), soprattutto non lo sono con una gentile ex collega quale sei tu.

@ Silent: Sta cercando di dimostrare per assurdo la limitatezza delle $C_(s,n)$ o la disuguaglianza dell'enunciato?
Mi viene il dubbio, perché $k$ non c'è nella disuguaglianza in cui compaiono le $C_{s,n}$ e quella che tu riporti come negazione (la roba con $L_n$) non è legata alla disuguaglianza delle $C_(s,n)$ (ci sono esponenti diversi).

@ Silent: Sta cercando di dimostrare per assurdo la limitatezza delle $C_(s,n)$ o la disuguaglianza dell'enunciato?
Mi viene il dubbio, perché $k$ non c'è nella disuguaglianza in cui compaiono le $C_{s,n}$ e quella che tu riporti come negazione (la roba con $L_n$) non è legata alla disuguaglianza delle $C_(s,n)$ (ci sono esponenti diversi).

Esattamente questo non capisco. Era quello che volevo evidenziare dicendo:

E proprio il passaggio "ovvero che..." che io contesto. Per me le strade per assurdo che si potrebbero impostare sono al massimo due e non ho ben capito quale delle due lui aveva in mente di seguire, da come ha scritto:
1. suppongo per assurdo che, qualsiasi sia $ s $, la successione $ C_{s,n} $ è sempre non limitata;
2. suppongo per assurdo che, comunque vengano scelti $ k,r $ e $ K $, si riesce sempre a trovare una funzione buona $ \tilde{\gamma} $ tale che la successione \( \displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \tilde{\gamma}(x) \mathrm{d}x\right| \) non è limitata al variare di $ n $.

Scegliendo la prima ipotesi, non mi sembra che si può dedurre granché, perché se i maggioranti sono illimitati non significa che debba esserlo anche la successione maggiorata.
La seconda ipotesi per assurdo invece consente libera scelta per le costanti $ k,r $ e $ K $ (quelle dell'enunciato del teorema), ma poi la funzione buona $ \tilde{\gamma}(x) $ è "quella che viene", e invece lui imposta tutto il prosieguo della dimostrazione sulla possibilità di scegliere le funzioni buone come gli pare, nel modo che più gli fa comodo per arrivare ad una contraddizione.

A me sembra che l'autore abbia fatto un mischione e che la dimostrazione, almeno per come l'ha scritta, è sbagliata e non è valida.