Sto leggendo il libro di D.S.Jones, The theory of generalized functions, e nel particolare sto studiando il teorema 3.18 di pagina 84, nella cui dimostrazione non capisco un'affermazione che fa.
Prima di esternare il dubbio puntuale, devo fare un pò di contesto per spiegarmi meglio. Iniziamo da due definizioni.
Una funzione buona $\gamma(x)$ è definita come una funzione definita sui reali, infinitamente differenziabile e tale che lei e tutte le sue derivate siano un $O(|x|^{-N})$, per ogni $N$.
Una funzione generalizzata è per definizione una famiglia di funzioni buone \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) tale per cui esista il limite \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\) per qualsiasi buona $\gamma(x)$.
Riporto inoltre un teorema, senza dimostrarlo (teorema 3.16 del libro).
Qualsiasi sia la funzione generalizzata \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \), esistono due interi $k$, $r$, e una costante $K$ tali che \(\displaystyle \left| \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| \leq K \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x)\).
Detto ciò, veniamo al dubbio.
Nel teorema 3.18 lui definisce un funzionale lineare $F$ "sullo spazio delle funzioni buone della forma \(\displaystyle (1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x) \), dove $k$ e $r$ sono quelli del teorema 3.16" (citazione testuale) nel modo seguente:
$$F\left( (1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x)\right) = \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x)\mathrm{d}x$$
e dice che per il teorema 3.16 tale funzionale ha norma $K$.
La cosa che non capisco è: il dominio di $F$ è veramente uno spazio vettoriale? Non la vedo questa cosa, perché se sommo due funzioni buone di quel tipo, ottengo:
$$(1+x^2)^{k_1/2}\gamma_1^{(r_1)}(x) + (1+x^2)^{k_1/2}\gamma_2^{(r_2)}(x) \overset{?}{=}(1+x^2)^{k_3/2}\gamma_3^{(r_3)}(x)$$
e chi sarebbero dunque $k_3$, $r_3$ e $\gamma_3$?
Potrei anche accroccare che $k_3=0$, $r_3=0$ e $\gamma_3 =(1+x^2)^{k_1/2}\gamma_1^{(r_1)}(x) + (1+x^2)^{k_1/2}\gamma_2^{(r_2)}(x) $, ma poi non potrei più sfruttare il teorema 3.16 per poter dire ancora che la norma di $F$ è $K$.