Convergenza forte di proiettori in uno spazio di Hilbert

Sia $H$ uno spazio di Hilbert sul campo complesso, infinito dimensionale e separabile.
Sia $\{H_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ una successione si sottospazi chiusi di $H$ tale che $H_{m+1}$ è un sottospazio proprio di $H_{m}$ e $\cap_{m=1}^\infty H_m=\{0\}$.
Sia $\{P_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ una successione di operatori lineari su $H$ tale che $\forall m \in \mathbb{N}: P_m$ è la proiezione ortogonale su $H_m$.
Vorrei una dimostrazione che la successione $\{P_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ converge a $0$ fortemente ovvero che per ogni fissato $h \in H: \lim_{m \to \infty} P_m(h)=0$.
Grazie

La sottoalgebra dei proiettori di $H$ è l'insieme degli elementi idempotenti di \(Lin(H,H)\) guardato come \(\mathbb C\)-algebra, e quindi -come conseguenza di un fatto generale vero per ogni anello- eredita una struttura di reticolo. Questo reticolo è isomorfo al reticolo dei sottospazi (chiusi) di $H$, quindi ciò che vuoi segue dalla condizione \(\bigcap_{m\ge 1}H_m = (0)\).

Ultima modifica di megas_archon il 20/01/2024, 16:37, modificato 1 volta in totale.

ti ringrazio megas_archon della stupenda dimostrazione, davvero bella, ma mi necessita una dimostrazione che usa strumenti correlati alle cose che ho citato. comunque ti ringrazio.

Beh, ma l'algebra degli operatori è correlata alle cose che hai citato. Quello che ti ho proposto è un argomento abbastanza standard in teoria delle C*-algebre, le quali pertengono completamente all'analisi funzionale secondo la classificazione MSC che le colloca in 46LXX.

Posto che io non capisco questa maniera compartimentale di guardare alle conoscenze (come se le algebre di operatori non fossero particolari anelli!?), penso che invece di sperticarti in complimenti, ragionare nel modo che ti ho proposto potrebbe esserti conveniente soprattutto nell'ottica pragmatica di passare (o completare in fretta) un esame che devi toglierti di mezzo.

megas_archon mi dispiace se te la sei presa. il fatto che io ne abbia chiesto una diversa certo non era per sminuirla o per preferenze argomentali, il motivo è che la devo spiegare ad una persona che ha appena la conoscenza degli spazi di Hilbert e non sa nulla delle C*-algebre, deve fare un esame e il programma è molto ridotto, è questo il motivo.
P.S.
I complimenti non erano per sperticarmi ma perchè davvero l'ho trovata una bella dimostrazione.

Ma no, perché dovrei essermela presa? Semplicemente trovo uno sterile esercizio di autolimitazione rispondere a una domanda usando solo questo o quel linguaggio, e volevo fosse chiaro il punto, che è: i problemi basta risolverli giusti.