Esercizio spazi Lp (metodi matematici)

Buonasera, avrei bisogno di assistenza per un esercizio riguardante lo svolgimento di un esercizio sugli spazi Lp. In allegato troverete la soluzione del professore che non ho capito. Ringrazio in anticipo chi mi risponderà e chiedo gentilmente se sarà possibile spiegarmi integralmente l’esercizio.

Moderatore: Mephlip

Da regolamento (che trovi qui), è richiesto di non caricare foto e scrivere il testo degli esercizi con le formule presenti nel forum. Qui puoi trovare un tutorial su come scrivere le formule; puoi modificare il messaggio con l'apposito pulsante "Modifica" presente in alto a destra sul messaggio stesso. Grazie e buona permanenza!

Non possiamo spiegarti tutta la teoria degli spazi $L^p$; cerca di isolare di più i tuoi dubbi.

come posso impostare l'esercizio cosi da prendere almeno qualche punto?

Non stai mostrando alcuno sforzo: né per modificare i messaggi (che è previsto dal regolamento) né per mostrare i tuoi ragionamenti (ossia, il tuo tentativo di soluzione all'esercizio; anch'esso previsto dal regolamento). Inoltre, in entrambi i tuoi post dovresti riportare anche il testo dell'esercizio e non solo la sua soluzione; solo così sapremo cosa viene richiesto.

Cosa non ti torna? Com'è definito $L^p(A)$? Ed $L^{\infty}(A)$? Saputo questo, il resto sono nozioni di analisi $1$ e quindi, se stai studiando per metodi matematici, dovresti almeno saper esporre con le formule cosa non ti è chiaro.

beh ma se io non so minimamente come trovare la soluzione me la invento? comunque io non ho capito cosa inizare a fare quando ci troviamo un esercizio del genere. vedo che per prima cosa bisogna vedere se è una funzione pari o dispari. di sotto è la traccia dell'esercizio.

3) $f(x) = \frac{ln(x^2)}{\sqrt{|x|^{\alpha} + 1}} $, $\alpha > 0 $

Determinare per quali $p \in [1, \infty] $ si ha $f \in L^p(\RR) $

Ultima modifica di Matteo.sofiaa il 06/12/2023, 22:33, modificato 1 volta in totale.

Ciao Matteo.sofiaa,

Ti pregherei di non insistere con queste foto, come da regolamento, eliminandole dal primo e da quest'ultimo post sostituendole con quanto sto per scriverti. Considerando che sei ai tuoi primi messaggi, per questa volta te lo scrivo io, così potrai renderti conto di com'è facile:

3) $f(x) = \frac{ln(x^2)}{\sqrt{|x|^{\alpha} + 1}} $, $\alpha > 0 $

Determinare per quali $p \in [1, \infty] $ si ha $f \in L^p(\RR) $

Codice:

3) $f(x) = \frac{ln(x^2)}{\sqrt{|x|^{\alpha} + 1}} $, $\alpha > 0 $

Determinare per quali $p \in [1, \infty] $ si ha $f \in L^p(\RR) $


Così va un po' meglio, almeno l'ultimo messaggio sei riuscito a modificarlo (forse per l'OP non è più possibile, è passato un po' di tempo...)

Dovresti essere d'accordo che $\forall x \in \RR $ si ha:

$f = f(x) = \frac{ln(x^2)}{\sqrt{|x|^{\alpha} + 1}} = \frac{ln|x|^2}{(|x|^{\alpha} + 1)^{1/2}} = \frac{2ln|x|}{(|x|^{\alpha} + 1)^{1/2}}$

Sicché si ha:

$|f|^p = \frac{2\abs{ln|x|}^p}{(|x|^{\alpha} + 1)^{p/2}}$

Come si comporta $|f|^p $ per $|x| \to 0 $ e per $|x| \to +\infty $ tenendo conto che $\alpha > 0$ ?

beh ma se io non so minimamente come trovare la soluzione me la invento?

No, non devi inventare.
Per prima cosa, visto che stai studiando, dovresti cercare di capire perché tu non sei in grado di trovare una soluzione.
Dove ti blocchi?
Comprendi il testo dell'esercizio (non la soluzione, quella non ti serve; il testo proprio)?
Se sì, cosa ti chiede? Come puoi iniziare a ragionare?
Se no, c'è qualche nozione di teoria che ti manca per comprendere il testo? Dove puoi recuperarla?

Comincia così.

comunque io non ho capito cosa iniziare a fare quando ci troviamo un esercizio del genere.

Usare le definizioni è quasi sempre una buona idea.

vedo che per prima cosa bisogna vedere se è una funzione pari o dispari.

Quella è la prima cosa per chi ha scritto la soluzione, perché già aveva un piano e sapeva dove andava a parare.
Ma probabilmente non è la prima cosa per te, che il piano non ce l'hai.


P.S.: Questo argomento, in altri tempi, avrebbe ricevuto più attenzione non solo dalla community, ma soprattutto dallo OP. Sono passati 25 giorni dalla domanda originaria e poco più di 20 dall'ultima risposta -che risposta non era- dello OP, ed il discorso si è sfilacciato senza un vero perché.
Forse si è perso il rispetto che si deve alla propria crescita/formazione ed al lavoro degli utenti (che usano parte del proprio tempo per rispondere)?
Non so, ma la desertificazione di questi ambienti virtuali è deprimente.

buonasera le rispondo ora perchè non mi arrivano notifiche dal sito...Semplicemente avevo l'esame il 7 dicembre quindi quello che avevo imparato ho fatto (in questo caso nulla per l'esercizio sopra indicato). Perciò avendo finito l'esame non mi sono praticamente importato della richiesta fatta sul forum. Fatto sta che questa tipologia di esercizio al mio corso il prof non l'ha spiegata (infatti prima avevo l'integrale doppio) ma dato che è un esame che provo ormai da due anni, qualcosa nel tempo è cambiato, ma sopratutto non mi importa capire il mondo degli Spazi LP bensì superare l'esame e levarmelo da mezzo.

[...] dato che è un esame che provo ormai da due anni, qualcosa nel tempo è cambiato, ma soprattutto non mi importa capire il mondo degli Spazi LP bensì superare l'esame e levarmelo da mezzo.

E niente, questo passaggio è una rappresentazione plastica di quel che intendevo qui:

[...] si è perso il rispetto che si deve alla propria crescita/formazione

In bocca al lupo.


P.S.: Ma poi l'esame te lo sei "levato da mezzo" o no?