Distribuzioni

[Roberto999999]

Salve a tutti, devo risolvere il seguente esercizio e non so come fare.
Ho una funzione f(x) che è nulla per le x negative ed è continua per le x positive. Ho che \( \int_0^1 x|f(x)|\ \text{d} x \) è finito.
Devo dimostrare che f rappresenta una distribuzione di ordine al massimo 1.

[pilloeffe]

Ciao Roberto999999,

Benvenuto sul forum!

Devo dimostrare che f rappresenta una distribuzione di ordine al massimo 1.

Scusa, che cosa vuol dire? L'integrale che hai proposto $\int_0^1 x|f(x)|\ \text{d}x $ è finito anche se consideri la funzione ordinaria

$f(x) := {(0 text{ per } x < 0),(e^x - 1 text{ per } x \ge 0):} $

[Roberto999999]

Una distribuzione è un funzionale T:D($\Omega$)->$RR$, dove $\Omega$ è un aperto di $RR$, D($\Omega$) è l'insieme delle funzioni test (funzioni lisce con supporto compatto in $\Omega$) tale che T sia lineare e vale la seguente disuguaglianza:$ T(\Phi)<=C(K)||\Phi||$, per ogni compatto K di $RR$ e per ogni funzione test $\Phi$. C(K) è una costante che dipende dal compatto K, la norma di $\Phi$ è quella definita tramite il sup della derivata n-esima. L'ordine della distribuzione è proprio la derivata con la quale stiamo maggiorando.

Nel mio caso voglio una distribuzione di ordine 1, quindi devo maggiorare con la derivata prima di $\Phi$.

Ora il punto è: se avessi una funzione continua (e quindi localmente integrabile) sarebbe tutto ok, perché tramite una funzione localmente integrabile si definisce la distribuzione seguente:
$\int_{-oo}^{oo} f(x)\Phi(x) dx$
e questa è una distribuzione (la distribuzione definita tramite f).

Nel mio caso non ho la continuità in 0, quindi bisogna procedere per un'altra strada.
Il procedimento che ho seguito io è il seguente ma non mi convince:
ho definito F(x)=$\int_{0}^{x} t|f(t)| dx$ per le x positive e F(x) nulla per le X negative
Ed ho poi definito la mia distrubuzione:
$Tf(\Phi)=\int_{0}^{oo} F^'(x)\Phi(x) dx$

Con questa definizione mi trovo. Semplicemente integro per parti e alla fine mi ritrovo una distribuzione di ordine 1. Non riporto i conti perché sono sicuro di ciò. Quello che non mi convince è che io ho definito la distribuzione tramite $F^'$(x)=x|f(x)| e non direttamente tramite f(x).

Spero di essere stato abbastanza chiaro.

[axpgn]

Chiarissimo

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