Qui posto i miei conti, non credo siano giusti, però li posto comunque tanto tentar non nuoce:
Per $x < 0$ il limite è proprio zero dalla definizione della funzione gradino.
Per $x> 0$ è evidente che quell'espressione tende ad una forma indeterminata $[0 / 0]$. Fissato un $x \in ]0, \infty[$, le due funzioni diventano funzioni della variabile $b$. Provo ad applicare il teorema di de l'Hopital, derivando numeratore e denominatore rispetto a $b$, ricordando che $H'(x) = \delta(x) $:
$lim_{b \to 0} \frac{\delta(x+b) - delta(x-b)(-1)}{1} = 2\delta(x)$. Da cui ottengo, per $x \in ]0, \infty[$, che $lim_{b \to 0} \frac{1}{4b}H(x+b)-H(x-b) = 1 / 2 \delta(x)$. Però questa mi copre anche il caso $x < 0$ per come è definita la delta di Dirac. L'unico problema è che non saprei come comportarmi in $x = 0$ dove c'è il salto.
Mi farebbe comodo se poteste controllare i miei calcoli, e in caso fossero sbagliati, il vostro procedimento di risoluzione. Ringrazio in anticipo chi vorrà rispondere
