Assegnato il problema di cauchy:
$ { ( y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 ),( y(0)=3),( y'(0)=1 ):} $
e se ne calcoli, se esiste, la soluzione usando la trasformata di laplace.
Mio svolgimento:
1. trasformo l'equazione differenziale in una equazione algebrica utilizzando la proprietà di trasformazione della derivata seconda e della derivata prima
Dato $s in C$,
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4(sY-y(0))+3Y=0$
$s^2Y-3s-1+4(sY-3)+3Y=0$
ed esplicito la L-trasformata della soluzione:
$(s^2+4s+3)Y=3s+12+1$
$Y(s)= (3s+13)/(s^2+4s+3)$
2. anti-trasformo i due membri dell'equazione
Siamo nel caso di una funzione razionale il cui denominatore ha discriminante positivo, quindi il denominatore ha due radici reali. Dunque , si può decomporre: $s^2+4s+3=(s+3)(s+1)$
E quindi, la funzione si può spezzare col metodo dei fratti semplici:
$ (3s+13)/(s^2+4s+3)=A/(s+3)+B/(s+1)$
Da qui , tramite passaggi algebrici si ottiene che: $A=1$ e $B=4$
Quindi , ricordando la trasformata dell'esponenziale reale, si ha che:
$Y(s)= 1/(s+3)+4/(s+1)= L[e^-(3x)](s) +4 L[e^-x](s)= L[e^(-3x)+4e^-x](s)$
Risultato: $y(x)= e^(-3x)+4e^-x$
Wolfram mi suggerisce invece : $y(x)=e^(-3x) (5e^(2x)-2)$
Dov'è l'errore?