Difficoltà con sviluppo in serie di Laurent

[Darius00]

Ciao a tutti, ho dei problemi con dei sviluppi di Laurent che secondo me sono banali ma a quanto pare non abbastanza per non averci problemi.

L'esercizio recita: Per ciascuna delle seguenti funzioni si scrivano i termini con potenza negativa dei corrispondenti sviluppi in serie di Laurent centrati in z = 0 (qualora esistano), specificandone la natura della singolarità in z = 0.

$f(z)=1/(z^3sinhz)$

Sviluppo in serie di Taylor con centro in $z_0=0$ e ottengo:
$sinh(z)= z+z^3/6+z^5/120+...=\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!)$

Invece il termine $1/z^3$ non lo tocco perché è già in una forma corretta.

Quindi lo sviluppo di Laurent di $f(x)$ sarà di questo tipo:
$f(z)=1/(z^3\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!))$

Perciò ci sono infiniti termini nella parte principale (ossia con potenza negativa). Ma so che è sbagliato perché nella soluzione sul testo dell'esame dice che si sono solo due termini con potenza negativa, ossia $f(z)=1/z^4-1/(6z^2)+...$.

Cosa sto sbagliando? Grazie in anticipo!

[Mephlip]

Sbagli perché non hai scritto la tua funzione in forma di serie di Laurent, in quanto questo:

$f(z)=1/(z^3\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!))$

è il reciproco di una serie di potenze a esponente intero, mentre una serie di Laurent è una serie di potenze a esponente intero. In poche parole, \(1/(a+b) \ne 1/a+1/b\).

Suggerimento:\[
\frac{1}{z^3\left(z+\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120}+\dots\right)}=\frac{1}{z^4} \cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z^2}{6}-\frac{z^4}{120}-\dots\right)}
\]e puoi riscrivere in maniera opportuna il secondo fattore del prodotto.

[Darius00]

è il reciproco di una serie di potenze a esponente intero, mentre una serie di Laurent è una serie di potenze a esponente intero. In poche parole, \( 1/(a+b) \ne 1/a+1/b \).

Ti ringrazio Mephlip per avermi aiutato a capire l'errore e a svolgere l'esercizio. Buona giornata!

[pilloeffe]

Ciao Darius00,

$f(x)=1/(z^3sinhz) $

Immagino che sia un errore di battitura, perché ovviamente è $f(z) = 1/(z^3sinhz) $, ma hai ripetuto lo stesso errore anche nel prosieguo dell'OP...

Potresti anche dare un'occhiata a questo thread.

[Darius00]

Ciao, si errore di battitura. Non sono ancora abituato all'analisi complessa! Provvedo subito a correggere.

Grazie per il link, stupidamente non ho cercato prima di porre la domanda, altrimenti avrei evitato.