Funzione intera, iniettiva con derivata identicamente nulla

[3m0o]

Trovare una funzione $f: \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p $ intera e tale che $f'(x)$ è la funzione identicamente nulla. (La derivata in $x$ è definita come nei numeri reali.)

Hint: Provare a definire $f(x)$ in termini dell'espansione $p$-adica di $x$.

Il mio più grande problema è capire se la funzione che ho fatto io sia intera o meno, e che senso dare al limite/derivata che non capisco molto.

Sono già confuso perché:

Definizioni funzione analitica:
Sia $U \subseteq \mathbb{C}_p$ un aperto, una funzione $f: U \to \mathbb{C}_p $ è localmente analitica se può essere rappresentata come una serie di potenze in un intorno di ogni $x \in U$.

Definizione funzione intera:
Un elemento $f(x) = \sum_{i \geq 0} a_i x^i \in \mathbb{C}_p[[x]]$ è intera se il raggio di convergenza è $\infty$ o equivalentemente se \[ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right|_p^{1/n} = 0 \]

Presumo che l'esercizio, quando dice intera, intende dire che è localmente analitica in \(\mathbb{Z}_p := \{ x \in \mathbb{Q}_p : \left| x \right|_p \leq 1 \}\).

Ora siccome ciascun elemento $x \in \mathbb{Z}_p$ può essere scritto come $x = \sum_{i \geq 0} x_i p^i $, con $x_i \in \{ 0,\ldots,p-1\}$, pensavo quindi tipo a qualcosa come

\[ x \mapsto f(x) = \sum_{i \geq 0} x_ip^{2i} \]
direi che è chiaramente iniettiva

Inoltre mi dice che la derivata in $x$ è definita come nei reali quindi direi che vale
\[ f'(x) = \lim_{h \xrightarrow[\neq]{} 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \]
(anche se non so dare veramente un senso al limite, perché da quello che ho capito è "discreto" $\mathbb{Z}_p$, non è così?), ad ogni modo ammettendo che sia ben definito questo limite, diciamo che \( x+h = \sum_{i\geq 0} b_i p^i\) e che \(x=\sum_{i\geq 0} x_i p^i\) allora poiché \( x+h \neq x \) esiste un indice minimale \( j \geq 0 \) tale che \( b_j \neq x_j\) e \( b_k = x_k \) per ogni \( k < j\), di conseguenza abbiamo che
\[ \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \right|_p = \frac{\left|f(x+h)-f(x) \right|_p}{\left|(x+h)-x\right|_p} = \frac{p^{-2j}}{p^{-j}} = p^{-j} \]
pertanto facendo tendere \( h \to 0 \) risulta che \( x+h \to x \) e \(j \to \infty \) da cui
\[ \lim_{h \to 0 } \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \right|_p = 0 \]
da cui deduciamo che la derivata è identicamente nulla, i.e. \( f'(x) =0\) per ogni \( x \in \mathbb{Z}_p\).
Ora la mia domanda è:
E' analitica? Direi di sì, però non so appunto se con intera intende analitica in \( \mathbb{Z}_p \) oppure no.

Pensate che possa funzionare?

[3m0o]

Ho risolto! L'esercizio mi chiede qualcosa che non è possibile, una funzione analitica con derivata nulla è localmente costante anche in $\mathbb{Q}_p$.

[dissonance]

Quindi, non ho capito, l'esercizio era errato?

[3m0o]

Yes! Esattamente, però se togli intera come richiesta allora il mio esempio va bene è una funzione iniettiva (non intera, il typo nella richiesta stava lì)!