Classici sui Radicali

Problema 1:

Considera il `numero'¹ $x$ dato dal radicale infinito:
\[
x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots\ }\ }\ }\ }
\]
in cui i $\cdots$ indicano il ripetersi indefinitamente di $\sqrt{2 + \cdots}$.

1. Mostra che la quantità $x$ è positiva e che formalmente risolve l'equazione di secondo grado $x^2 = 2 + x$.

2. Risolvi l'equazione $x^2 = 2 + x$, calcolandone l'unica soluzione positiva.

3. Deduci l'unico possibile valore di $x$ dalle risposte ai punti precedenti.

4. Seguendo lo stesso schema, deduci gli unici valori possibili per i radicali infiniti:
\[
\begin{split}
x &= \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots\ }\ }\ }\ } \; .
\end{split}
\]

5. Generalizza i risultati del punto 4, mostrando che ragionando in maniera analoga ai punti 1 - 3 puoi calcolare il valore di ogni radicale infinito del tipo:
\[
x = \sqrt{n(n+1) + \sqrt{n(n+1) + \sqrt{n(n+1) + \sqrt{n(n+1) + \cdots\ }\ }\ }\ }
\]
per ogni $n \in \NN$ ed $n\geq 1$.


Problema 2:

Considera il `numero' $x$ dato dal radicale cubico infinito:
\[
x = \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \cdots \ }\ }\ }\ }
\]
in cui, come sopra, i $\cdots$ indicano il ripetersi indefinitamente di $\root[3]{6 + \cdots }$.

1. Mostra che la quantità $x$ è positiva e che formalmente risolve l'equazione $x^3 = 6 + x$.

2. Risolvi l'equazione $x^3 = 6 + x$, mostrando che essa ha un'unica soluzione reale positiva.

[Suggerimento: riduci in forma normale ed usa il Teorema di Ruffini per scomporre il polinomio.]

3. Deduci l'unico possibile valore di $x$ dalle risposte ai punti precedenti.

4. Seguendo lo stesso schema, deduci gli unici valori possibili per i radicali infiniti:
\[
\begin{split}
x &= \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt[3]{60 + \sqrt[3]{60 + \sqrt[3]{60 + \sqrt[3]{60 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt[3]{120 + \sqrt[3]{120 + \sqrt[3]{120 + \sqrt[3]{120 + \cdots\ }\ }\ }\ } \; .
\end{split}
\]

5. Generalizza i risultati del punto 4, mostrando che ragionando in maniera analoga ai punti 1 - 3 puoi calcolare il valore di ogni radicale infinito del tipo:
\[
x = \sqrt[3]{(n-1)n(n+1) + \sqrt[3]{(n-1)n(n+1) + \sqrt[3]{(n-1)n(n+1) + \cdots\ }\ }\ }
\]
per ogni $n \in \NN$ ed $n\geq 2$.

---

Note

1. Le virgolette servono perché, in linea di principio, nessuno ci assicura che quello che stiamo per considerare sia un vero e proprio numero reale, in quanto contiene infinite radici quadrate\dots Tutto si può aggiustare, ma serve conoscere un po' di Matematica superiore (che, ironicamente, non s'insegna alle scuole superiori!). ↑

PR1

1. Elevando al quadrato entrambi i termini si ottiene:

$x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...)))$ che è equivalente a $x^2 = 2 + x$

2. L'equazione $x^2 -x -2 = 0$ ha come soluzioni $x=frac{1+sqrt(5)}{2}$ e $x=frac{1-sqrt(5)}{2}$

3. L'unico valore possibile è dunque $x = frac{1+sqrt(5)}{2}$

4. I valori sono nell'ordine: $3$ , $4$ , $5$

5. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

$x^2 = n(n+1) + sqrt(n(n+1)+sqrt(n(n+1)+...))$
che è equivalente a $x^2 = n^2 + n + x$. Ossia $x^2 - x = n^2 + n$

risolvibile per $x = n+1$

PR2

1. Con ragionamento analogo al PR1 es. 1 si trova $x^3 = 6 + x$

2. si nota che $2$ risolve l'equazione, dunque si imposta il sistema sfruttando Ruffini con le tre soluzioni:

$\alpha$ , $\beta$ , $2$

\begin{array}{ll}
\alpha + \beta + 2 = 0 \\
\alpha*\beta*2 = 6 \\
\end{array}

Che ha soluzioni in $\mathbb(C)$ ma non in $\mathbb(R)$

3. da 2. si deduce che $2$ è l'unica soluzione possibile.

4. I valori sono nell'ordine: $3$ , $4$ , $5$

5. Elevando al cubo entrambi i membri si ottiene:

\(\displaystyle x^3 = (n-1)n(n+1)+\sqrt[3]{(n-1)n(n+1)+\sqrt[3]{(n-1)n(n+1)+...}}
\)

che è equivalente a $x^3 = n^3 - n + x$. Ossia $x^3 - x = n^3 - n$

risolvibile per $x = n$

Tutto giusto. Complimenti!