Supponiamo che $a$ e $b$ siano due numeri reali distinti tali che $a-b, a^2-b^2, ..., a^k-b^k, ...$ siano tutti interi.
a) $a$ e $b$ devono essere razionali?
a) $a$ e $b$ devono essere interi?
Cordialmente, Alex
axpgn ha scritto:Ti garantisco che non è necessario scrivere un paper per giungere alla soluzione
hydro ha scritto:Tra l'altro qua la domanda è proprio quella contraria, ovvero: che senso ha scrivere un paper su un problema da olimpiadi? Già siamo pieni di pubblicazioni inutili...Testo nascosto, fai click qui per vederloChe debbano essere razionali è ovvio: se $a-b$ e $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ sono interi, allora $a-b$ e $a+b$ sono razionali (se $a\ne b$), e quindi $a,b$ sono razionali.
Sapendo che sono razionali, supponiamo che $v_p(a)<0$ per qualche primo $p$, dove $v_p$ è la valutazione $p$-adica. Allora ovviamente dev'essere $v_p(a)=v_p(b)=e<0$, dal momento che dev'essere $v_p(a-b)\ge 0$. Ne segue che $a=a_1/p^e$ e $b=b_1/p^e$ per qualche $a_1,b_1\in \mathbb Z_p$. Ora dev'essere $v_p(a_1^k-b_1^k)\ge ke$ per ogni $k$, il che implica che $a_1^k\equiv b_1^k\mod p^{ke}$. Ma quando $k$ è coprimo con $p(p-1)$ questo implica che $a_1\equiv b_1\mod p^{ke}$. Siccome esistono infiniti $k$ con questa proprietà, si deve avere che $a_1\equiv b_1\mod p^{ke}$ per infiniti $k$, e questo ovviamente implica che $a_1=b_1$. Ne concludiamo che $a=b$ oppure sono entrambi interi.
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