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E' un problema la cui soluzione è facile da pensare graficamente. Ovviamente è interessante solo per $k>1$, perchè altrimenti è chiaro che la successione converga. Chiama $f_k(x)=k^x$. Ti stai chiedendo quando l'iterata $n$-esima di $k$ sotto questa funzione converge; se questo accade ed il limite è \(\ell\), allora \(f_k(\ell)=\ell\), per continuità di $f_k$. Quindi necessariamente l'equazione $k^x=x$ deve avere almeno una soluzione. Ora, com'è fatta la fuzione $g_k(x)=f_k(x)-x$? La derivata ha un solo zero, che è $x_0=-\log_k(\log k)$. Siccome $g_k(0)=1$ e $g_k(x)\to +\infty$ quando $x\to \infty$, ciò significa che (per ogni $k$ fissato) $g_k$ decresce fino a $x_0$ e poi cresce. Ora, quando $g_k(x_0)>0$ l'equazione $f_k(x)=x$ non ha radici, quindi la successione diverge (dal momento che è monotona crescente). Che succede quando $g_k(x_0)\le 0$? Intanto se uno disegna il grafico della funzione (della variabile $k$) $y=g_k(x_0)$, si accorge che ha un unico zero, chiamiamolo $k_0$. Si vede anche che è $>1$. Quando $1<k<k_0$ succede che $g_k(x_0)<0$ e quindi dall'analisi fatta in precedenza ci sono due valori $x_1$ e $x_2$ tali che $g_k(x_i)=0$ per $i=1,2$. Adesso disegnando un altro grafico ci si accorge che per i valori di $k$ che sono compresi tra $1$ e $k_0$, si ha necessariamente $k<x_0$, e dal momento che ovviamente $g_k(k)>0$ si deve necessariamente avere $1<k\le x_1$ Ciò significa che iterando $f_k(x)$ a partire da $k$ si andrà necessariamente a schiantarsi contro $x_1$. Anche di questo è facile accorgersi graficamente, ma anche in maniera più formale, siccome per ogni $a>1$ si ha $a^a>a$ la successione $a_n$ è necessariamente monotona crescente, e dall'altra parte siccome $k<x_1$ allora $k^k<k^{x_1}=x_1$, il che dimostra induttivamente che la tua successione è limitata da $x_1$. Ergo, ha un limite finito (che poi in effetti è proprio $x_1$). Tirando le somme, la tua successione converge se e solo se $k<k_0$. Graficamente si vede che $k_0$ vale all'incirca $1.4447$.