Trigonometria

[Quinzio]

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Cerchiamo di mostrare che
$ \cos(\sin x) > \sin(\cos x)$

per $0 < x < \pi/2 $.
Fuori da questo intervallo le funzioni si ripetono con facili simmetrie.

Per $x=0$ e' facile vedere che $cos(0) = 1 > sin (1)$. Per $x=\pi/2$ vale un ragionamento simile.

Siccome $|\sin x| \le 1 < \pi/2$

allora $\cos(\sin x) > 0$

e quindi possiamo fare il quadrato dei membri.

$ \cos^2(\sin x) > \sin^2(\cos x)$
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Introduciamo

$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x > \sin^2(\cos x)$

e cerchiamo di verificare le due disuguaglianze separatamente
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Siccome il coseno e' monotono discendente, verificare

$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x$

e' equivalente a dimostrare

$ \sin x < x$,

che e' noto dalla trigonometria.
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Per la seconda parte

$ cos^2 x > \sin^2(\cos x)$

facciamo la sostituzione $x -> \pi/2 - y$

$ cos^2 (\pi/2 - y) > \sin^2(\cos (\pi/2 - y))$

$ sin^2 y > \sin^2(\sin y)$

Siccome il seno e' monotono crescente l'ultima disuguaglianza e' equivalente a

$ y > \sin y$,

noto dalla trigonometria.

[giammaria]

@ axpgn
Non ci siamo capiti: l'equivalenza che uso è $sin(cos x)=cos(pi/2-cos x)$, che è vera anche per x=0.
La prima riga scritta è il primo passaggio dell'equazione, così come diventa applicando quell'equivalenza; per x=0 i due membri sono diversi perché quella non è una soluzione dell'equazione.

[axpgn]

Eh, beh, se io parlo di equivalenza e me lo dici solo ora che ti riferivi a qualcosa che non c'era ...

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Ogni lato dell'equazione ha periodo $2pi$ quindi ci riduciamo a $-pi<x<=pi$, inoltre, dato che, $sin(cos(-x))=sin(cos(x))=cos(sin(x))=cos(-sin(x))=cos(sin(-x))$ se $x$ è soluzione lo è anche $-x$ e quindi ci riduciamo a $0<=x<=pi$.

In questo intervallo abbiamo $0<=sin(x)<=1<pi/2$ perciò $cos(sin(x))>0$.

Affinché sia $sin(cos(x))>0$ deve essere $0<=x<pi/2$.
Dato che la funzione $x-sin(x)$ è crescente e in particolare è pari a $0$ quando $x=0$, abbiamo $sin(x)<x$ per $x>0$, in particolare $sin(cos(x))<cos(x)$
D'altra parte il coseno decresce in $[0, pi/2)$, quindi abbiamo $cos(x)<cos(sin(x))$ da cui concludiamo che $sin(cos(x))<cos(sin(x))$

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Mi scuso per la mancanza di chiarezza. Tentavo di risolvere l'equazione e mi è parso del tutto spontaneo iniziare con lo stesso accorgimento con cui avrei risolto $sin 5x=cos 3x$.
Per questo non capivo a cosa ti riferivi parlando di equivalenza, ma confesso di non averci badato molto.

[axpgn]

Di nulla