Somma dei fattoriali è una potenza perfetta?

Sia $s(n):= sum_1^n k!$, per ogni $n$ intero positivo.
Trovare tutti gli $n$ per cui $s(n)$ è una potenza perfetta

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Dopo aver verificato che per $n \leq 3$ otteniamo una potenza perfetta solo per $n=3$ cioè $s(3)=9$.

Mostriamo che $3 | s(n)$ per $n \geq 3$.

Infatti per $n \geq 3$

$s(n)=1+2+3\sum_{k=3}^{n} \frac{k!}{3}=3(1+\sum_{k=1}^{n}\frac{k!}{3})$

Tuttavia se $s(n)$ fosse una p-potenza perfetta con $p>2$ allora

$s(n) \equiv 0 mod 27$

tuttavia

$s(n) \equiv 9 \mod 27$

per ogni $n \geq 8$ quindi non può essere una potenza perfetta.

Inoltre non può essere un quadrato perfetto poiché per

$s(n) \equiv 3 \mod 10$

per ogni $n \geq 5$, ma 3 non residuo quadratico modulo 10.

Con i numeri rimasti si verifica che l'unica soluzione è $n=3$.

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E' tutto giusto
però direi che va esplicitato di più qualche punto:
1) Perché $\sum_{k=1}^{n}\frac{k!}{3} in NN$?
2) Perché $s(n) \equiv 9 \mod 27$ per ogni $n \geq 8$?
3) Perché $s(n) \equiv 3 \mod 10$ per ogni $n \geq 5$?

Soprattutto il punto 2) non mi sembra proprio immediato.
1) e 3) si possono giustificare anche con poche parole, però è bene scriverle



Aggiungo: anche $s(1)=1$ è una potenza perfetta

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1) Si ha $\sum_{k=3}^{n} \frac{k!}{3} \in \mathbb{Z}$ poiché $3 | k!$ per $k \geq 3$


2) Poiché $27 | k!$ per $k \geq 9$ e quindi $k! \equiv 0 \mod 27$ cioè a $s(8)$ aggiungi termini divisibili per $27$ quindi

$s(n) \equiv s(8)+9!+10!+ \cdots+ n! \equiv 9+0+0+\cdots \equiv 9 \mod 27$


3) $s(n)$ termina con la cifra 3 poiché $k! \equiv 0 \mod 10$ per $k \geq 5$ e $s(4) \equiv 3 \mod 10$ per lo stesso motivo di prima si ha $s(n) \equiv 3 \mod 10$ e nessun quadrato perfetto termina con la cifra 3.

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Perfetto, direi che c'è tutto.
Solo una cosa: tu per dimostrare che $s(8) -= 9 (mod 27)$ che procedimento hai seguito? Io ho fatto i calcoli:
$s(8) = 1! + 2!+ 3!+ 4! + 5! + 6! + 7! +8! =$
$= 1+2+6+24+120+720+5040+40320= 46233$,
e poi divido $46233-9$($=46224$) per $27$ ottenendo $1712$.

Hai fatto in un altro modo?

Ho usato un metodo abbastanza recente si chiama metodo WA (Wolfram Alpha)