Effettivamente non esistono tali $n$, ed ecco la dimostrazione.
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Con $n$ intero positivo, il numero è dispari e può solo essere il quadrato del dispari $2k-1$ (con $k>=1$). Perciò
$(2k-1)^2=6^n-2^(n+1)+1$
Prima di pensare alla soluzione dell'equazione, ne deduco una limitazione.
$(2k-1)^2<4^n-2*2^n+1=(2^n-1)^2$
Estraggo la radice, notando che le basi sono positive: $2k-1<2^n-1$ e quindi
$k<2^(n-1) " " " " " " " " $ (*)
Passo ora alla soluzione dell'equazione, che scrivo come
$4k^2-4k+1=2^n*3^n-2*2^n+1->4k(k-1)=2^n(3^n-2)$
Uno fra $k, k-1$ è pari, quindi il primo membro è divisibile per 8: deve perciò essere $n>=3$. Dividendo per 4 ottengo
$k(k-1)=2^(n-2)(3^n-2)$
Solo uno fra $k,k-1$ è pari, quindi il fattore $2^(n-2)$ deve interamente rientrare in esso, accompagnato da un divisore $p$ di $3^n-2$.Abbiamo quindi i seguenti due casi:
1) Se $k$ è pari, si ha $p*2^(n-2)=k$ e per la (*) $p*2^(n-2)<2^(n-1)->p<2$: si ha quindi $p=1$.
2) Se $k$ è dispari, si ha $p*2^(n-2)=k-1$ e per la (*) $p*2^(n-2)<2^(n-1)-1->p<2-1/2^(n-2)$. Ricordando che $n>=3$, se ne deduce $p=1$.
In entrambi i casi si ha $p=1$: i due fattori $2^(n-2)$ e $3^n-2$ non si mescolano fra loro. Uno di essi vale $k$ e l'altro $k-1$, quindi la loro differenza, in valore assoluto, vale 1. Perciò
$3^n-2-2-2^(n-2)=+-1$
Per $n=3$, il primo membro vale $27-2-2=23$ e non è uguale a $+-1$. All'aumentare di $n$, il primo membro aumenta perché $3^n$ cresce più velocemente di $2^(n-2)$ e l'eguaglianza continua a non sussistere.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)