Piscina

[axpgn]

Johnny si trova ad un angolo di una piscina quadrata e vuole raggiungere l'angolo opposto.
Se $w$ è la velocità con cui cammina e $s$ la velocità con cui nuota ($s<w$), qual è il percorso dal tempo più breve?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Johnny si trova ad un angolo di una piscina quadrata e vuole raggiungere l'angolo opposto.
Se $w$ è la velocità con cui cammina e $s$ la velocità con cui nuota ($s<w$), qual è il percorso dal tempo più breve?

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La diagonale a nuoto viene percorsa nel tempo $l/s \sqrt2$ mentre due lati vengono percorsi in $2l/w$
Mi viene da dire che conviene fare a diagonale a nuoto se

$l/s \sqrt2 < 2l/w$ ovvero $w/s< \sqrt 2$

altrimenti conviene fare i due lati.

[axpgn]

Giusto


Ma ...

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- la dimostrazione dov'è? "Mi viene da dire" non è una dimostrazione

- e se fosse $w/s=sqrt(2)$ ?

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Se $w/s = \sqrt 2$ e' indifferente.

Johnny deve arrivare dall'angolo A all'angolo C della piscina quadrata ABCD.
Durante il percorso egli dovra' necessariamente attraversare la retta che passa per i punti B e D (l'estensione della diagonale BD).
Comunque arrivi alla diagonale partendo da A, l'unica strategia logica e' proseguire e arrivare a C in modo simmetrico rispetto a come si e' arrivati alla diagonale.
Quindi il sotto-problema e' come arrivare a BD nel piu' breve tempo possibile e quindi proseguire in modo simmetrico.
L'unica stragia per fare cio' e' camminare sul bordo della piscina per una certa lunghezza, anche zero o anche l'intero lato e quindi iniziare a nuotare.
Una volta che si inizia a nuotare, l'unica strategia e' di puntare alla diagonale in modo perpendicolare ad essa.
Quindi ogni percorso sara' composto da un tratto AE sul bordo, quindi nuotare "a 45 gradi" rispetto al lato fino ad arrivare al lato opposto sul punto F e quindi arrivare a C sul bordo.
Ora, i triangoli rettangoli ABC e EBF sono isosceli e quindi simili.
Il tempo per percorrere ABC o EBF adottando la stessa strategia sara' propozionale alla lunghezza del lato.
Siccome i triangoli sono simili e il tempo dipende solo dal lato (e dalla strategia) la strategia per percorrere i due triangoli deve necessariamente essere la stessa.
Questo porta alla conclusione che le uniche due strategie possibili sono o percorrere solo la diagonale o percorrere solo il bordo della piscina.
La scelta tra i due modi dipende dalla disequazione scritta prima.

[axpgn]

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Comunque arrivi alla diagonale partendo da A, l'unica strategia logica e' proseguire e arrivare a C in modo simmetrico rispetto a come si e' arrivati alla diagonale.

Il tuo ragionamento è logico ma parte da presupposti, come quello sopra, indimostrati e quindi trascura di analizzare situazioni che potrebbe essere possibili

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Il tuo ragionamento è logico ma parte da presupposti, come quello sopra, indimostrati e quindi trascura di analizzare situazioni che potrebbe essere possibili
Cordialmente, Alex

Il fatto che bisogna attraversare la retta BD sta nel fatto che i punti A e C sono nei due diversi semipiani individuati da BD.
Quindi qualsiasi percorso da A a C attraversa BD.
Poi, il tempo totale da A a C e' dato dalla somma dei tempi che si impiegano da A alla retta BD e poi da BD a C.
A questo punto se il percorso da A a BD e' quello piu' rapido, si tiene quello, altrimenti lo si sostituisce con il percorso piu' rapido.
Quindi, data la simmetria delle condizioni (la velocita') rispetto alla retta BD, e data la simmetria di A e C rispetto a BD, il percorso piu' breve da BD a C e' lo stesso ma simmetrico di quello fatto da A a BD.

Non so se cosi' va bene.
Quali altri punti indimostrati ci sarebbero ?

[axpgn]

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Il tuo ragionamento è logico e corretto, come già detto, ma non hai realmente e formalmente dimostrato che quelle vie sono le uniche più veloci per giungere alla diagonale, tant'è che esiste un caso dove ve ne sono altre.
A mio parere, non ti sei ancora accorto di questo proprio perché formalmente non l'hai risolto

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Direi che siano stati approvati i fatti che tutti i percorsi piu' rapidi sono simmetrici rispetto a BD e che per approcciarsi alla retta BD, rimanendo all'interno di un mezzo omogeneo (come velocita'), la via piu' rapida e' il percorso maggiormente ortogonale alla retta BD.
Appurati questi due fatti tutti i percorsi sono di questo tipo:
$P = (0,0)-(d, 0)-(1, d)-(1,1)$ con $d \in [0,1]$
ipotizzando una piscina di lato 1.
Arrivato al punto $(d, 0)$, il nuotatore si trova davanti a un quadrato piu piccolo, individuato dagli angoli $(d, 0)-(1, d)$, che pero' presenta le stesse caratteristiche del quadrato originale $(0,0)-(1,1)$.
La scelta davanti ai due quadrati deve essere necessariamente la stessa, perche' il modo piu' rapido di attraversare il quadrato non cambia, fermo restando che cambia il lato del quadrato e quindi il tempo impiegato sara' proporzionale alla dimensione del lato.
Se si percorrono i due quadrati in modo diverso si compie una scelta contraddittoria e quindi la conclusione e' che o si percorre la diagonale BD o si percorrono i lati AB-BC.
Rimane sempre il caso particolare in cui $w = s \sqrt2$ in cui invece ogni percorso del tipo $P = (0,0)-(d, 0)-(1, d)-(1,1)$ con $d \in [0,1]$ e' il piu' rapido.

[axpgn]

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Rimane sempre il caso particolare in cui $w = s \sqrt2$ in cui invece ogni percorso del tipo $P = (0,0)-(d, 0)-(1, d)-(1,1)$ con $d \in [0,1]$ e' il piu' rapido.

Adesso sì, ci sei.

[giammaria]

Do anche un'altra risposta; la conclusione non cambia.

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Si va a piedi da A a P (su AB), poi a nuoto fino a Q (su BC) ed a piedi fino a C. Posto $AB=BC=a; AP=p; CQ=q$, si ha
$PQ^2=(a-p)^2+(a-q)^2=2a^2-2a(p+q)+p^2+q^2=2a^2-2a(p+q)+((p+q)^2+(p-q)^2)/2$
Posto ora $p+q=x; |p-q|=y$, si ha
$PQ^2=1/2(4a^2-4ax+x^2+y^2)=1/2[(2a-x)^2+y^2]$
Fisso $x$, PQ è minimo per $y=0$; poiché $x$ è il percorso complessivo a piedi, conviene suddividerlo in due tratti uguali per minimizzare il percorso a nuoto. Con questa accortezza, si ha
$PQ=(2a-x)/sqrt2$
ed il tempo necessario è
$t=(AP+CQ)/w+(PQ)/s=x/w+(2a-x)/(s sqrt2)=x(1/w-1/(s sqrt2))+(2a)/(s sqrt2)$
Ci sono quindi i seguenti tre casi:
- $w=s sqrt2$) Il valore di $x$ non ha importanza, quindi basta fare a piedi due tratti uguali (uno alla partenza e l'altro all'arrivo) di qualsiasi lunghezza compresa fra zero (tutto a nuoto) ed $a$ (tutto a piedi).
- $w>s sqrt2$) $t$ decresce al crescere di $x$, quindi si ha il minimo per $x=a$ (tutto a piedi)
- $w<s sqrt2$) Il contrario: tutto a nuoto.